【慧学智评】北师大版九上数学 1-4 矩形的性质 同步授课课件

(共19张PPT)
第一章
特殊平行四边形
第4课
矩形的性质
观察下面几幅图形，你能发现他们有什么样的共同特征吗？%// //%
四个角都是直角等.
(1)矩形的定义：有一组邻边% /的平行四边形是/ ．
互相垂直
矩形
(2)图形语言：
C
A
D
B
(3)几何语言：
∵∠A＝90°， ．
∴平行四边形ABCD是矩形．
四边形ABCD是平行四边形
（探究1图）
【探究2】矩形的性质
四边形
平行四边形
矩形
【问题1】矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形
的性质，请列举一些这样的性质？
解：
对边平行且相等，对角线互相平分．
是中心对称图形等．
【问题2】如图，矩形是轴对称图形吗？如是，画出对称轴，
它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
解：
【问题3】你认为矩形有哪些相等的线段？
哪些角是相等的？
解：
（问题2图）
（问题2答图）
矩形是轴对称图形．有2条对称轴．
对称轴之间互相垂直．
矩形的对边相等，对角线相等，
四个角都是直角．
【问题4】如图，已知在矩形ABCD中，∠B＝90°．
求∠A、∠C、∠D 的大小.
C
A
D
B
问题4图
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC ．
∴∠A＋∠B＝180°，
∠B＋∠C＝180°．
又∵∠B＝90°，
∴∠A＝∠C＝90°从而可知∠D＝90°.
定理1：矩形的四个角都是 ．
直角
【问题5】如图，已知矩形ABCD，求证：AC＝BD ．
C
A
D
B
O
问题5图
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC ．
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵，
∴△ADC≌△BCD(SAS)，
∴AC＝BD ．
定理2：矩形的两条对角线 ．
相等
元素 矩形的性质 几何语言
边
角
对角线
矩形的对边平行且相等．
如：矩形的四个角都是直角．
如：矩形的对角线相等．
四边形 是矩形,
.
四边形 是矩形,
.
四边形 是矩形,
.
小结：矩形的性质
【探究 3 】矩形的性质应用
已知: 如图, 在 Rt 中, 为 的中点,
求证: .
证明: 延长 至 , 使 , 连接 , 如答图. ,
四边形 是平行四边形.
,
四边形 是矩形, .
定理3： ．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　
【例题1】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD＝120°，AB＝5，求这个矩形对角线的长．
C
A
D
B
O
例题1图
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，
且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线相等且互相平分)，
∴OA＝OD．
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝＝30°(等边对等角)，
∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×5＝10(直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半)．故这个矩形对角线的长为10//%
【例题2】证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形．
已知：如答图D是AB的中点，且CD＝AD＝BD，
求：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD＝CD，∴∠A＝∠1．同理∠2＝∠B ．
∵∠2＋∠B＋∠A＋∠1＝180°，
即2(∠1＋∠2)＝180°，
∴∠1＋∠2＝90°，
即：∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形
1.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，
求这个矩形的各边长．
C
A
D
B
第1题答图
/解：如答图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∠BAD＝90°，AC＝BD＝6，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝BD＝×6＝3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3．
A2
2.如图，一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，
对角线长为15，求这个矩形较短边的长．
C
A
D
B
第2题图
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝AC＝×15＝7.5，
∵两条对角线的一个夹角
∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝7.5，
即这个矩形较短边的长为7.5
A3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状．
C
E
A
D
B
第3题图
解：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCE为菱形．
A4
4.(★)【中考真题】如图1-5-5，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为%// (用含t的代数式表示)．
C
F
G
A
D
B
E
D′
C′
第4题图
2