【慧学智评】北师大版九上数学 1-8 正方形的判定 同步授课课件

(共15张PPT)
第一章
特殊的平行四边形
第8课
长方形的判定
(1)边的性质：%// //% 等．
(2)角的性质：%// //% 等．
(3)对角线的性质：
两条对角线%// //%，
每条对角线平分%// //%．
(4)对称性：是%// //%，
有%// //%条对称轴，
也是%// //%对称图形．
四条边相等
四个角都是直角
相等且互相垂直平分
一组对角
轴对称图形
4
中心
正方形的性质
【问题1】正方形的定义：有一组邻边 ，
并且有一个角是 的平行四边形是正方形．
相等
直角
【问题2】要证明一个四边形是正方形，就是要证明这个四边形既是%// //%，又是%// //%；满足什么条件的矩形是正方形呢？
满足有一组邻边相等的矩形就是正方形．或满足对角线互相垂直的的矩形也是正方形．
矩形
菱形
【问题3】满足什么条件的菱形是正方形呢？
满足有一个角是直角的菱形就是正方形．或满足对角线相等的菱形也是正方形．
小结：正方形判定定理
(1)一组邻边%// //% 的矩形是正方形；
(2)对角线%// //% 的矩形是正方形；
(3)有一个角是%// //% 的菱形是正方形；
(4)对角线%// //% 的菱形是正方形．
相等
相等
互相垂直
互相垂直
【例题1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
C
F
E
A
D
B
例题1图
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°．
∴EB＝EC，∠E＝90°．
又∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BFCE是平行四边形．
∴四边形BFCE是正方形．
C
F
E
A
D
B
H
G
例题2图
【例题2】如图，在四边形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，F、H分别是BD、AC的中点．

(1)当AB、CD满足什么条件时，
四边形EFGH是矩形？
(2)当AB、CD满足什么条件时，
四边形EFGH是菱形？
(3)当AB、CD满足什么条件时，
四边形EFGH是正方形？
(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．

证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB；GH∥AB，GH＝AB．
∴EF∥GH，EF＝GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，
G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF＝AB，HG＝AB，FG＝CD，EH＝CD，
又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
(3)当四边形ABCD满足AB＝CD且AB⊥CD时，
四边形EFGH为正方形，
证明：由(1)(2)可知四边形EFGH是矩形也是菱形
∴四边形EFGH是正方形．
C
F
E
A
D
B
G
H
第1题图
1.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形EFGH是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝DG＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD＋∠GHD＝90°，
∴∠EHA＋∠GHD＝90°．∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
2.(☆) (中考真题) (1) 如图(1), 正方形的对角线相交于点, 点是正方形的一 个顶点, 已知两个正方形的边长相等, 当正方形绕点转动时, 两个正方形重叠部分的面积相等吗 为什么
解: (1) 相等. 理由如下: 是正方形 的对角线,
在 和 中,
,
四边形 面积 ,
当正方形 绕点 转动时, 两个正方形重叠部分的面积相等.
(2) 如图(2), 与 是两块全等的等腰直角三角板, 当其中一块的直角顶点 在另 一块的斜边中点处时, 绕点 转动, 两块三角板重叠部分的面积相等吗 为什么
(2) 相等. 理由如下: 连接 , 如答图 (1),
是等腰直角三角形, 为 中点,
,
.
在 和 中,
,
四边形 面积 ,
当其中一块的直角顶点 在另一块的斜边中点处时, 绕点 转动, 两块三角板重叠 部分的面积相等.
(3) 如图(3), 将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放, 点 分别是正方形的 中心, 则 个这样的正方形重叠部分的面积和为多少
(3) 如答图 (2), 过点 分别作正方形两边的垂线 与 , 点 是正方形的中心,
, 四边形 是正方形,
在 和 中,
, 的面积 的面积,
一个阴影部分的面积 正方形 的面积 , 同理可求,每一个阴影部分的面积都是正方形面积的 , 为 ,
重叠部分的面积和 .