2.5.1椭圆的标准方程 学案（Word版无答案）

椭圆的标准方程
【学习目标】
1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养．
2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
【学习重难点】
1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．（重点）
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．（重点）
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）
【学习过程】
一、新知初探
1．椭圆的定义
（1）定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．
（2）相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
2．椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） ＋＝1 （a＞b＞0）
图形
焦点坐标 （±c,0） （0，±c）
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（ ）
（2）椭圆＋＝1的焦点坐标是（±3,0）．（ ）
（3）＋＝1（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．（ ）
2．以下方程表示椭圆的是（ ）
A．x2＋y2＝1
B．2x2＋3y2＝6
C．x2－y2＝1
D．2x2－3y2＝6
3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点（0,2）的椭圆的标准方程是（ ）
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
4．椭圆＋＝1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝_________．
三、合作探究
类型1：求椭圆的标准方程
【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点坐标分别是（0,5）、（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．
（2）经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
（3）过（－3,2）且与＋＝1有相同的焦点．
类型2：椭圆的定义及其应用
【例2】设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
类型3：与椭圆有关的轨迹问题
【例3】如图，圆C：（x＋1）2＋y2＝25及点A（1,0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
【学习小结】
1.平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a．
2.求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
3.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），因为它包括焦点在x轴上（m＜n）或焦点在y轴上（m＞n）两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
【精炼反馈】
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
2．到两定点F1（－2,0）和F2（2,0）的距离之和为4的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
3．椭圆＋＝1的焦距为_________．
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长是_________．
5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是_________．
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