黑龙江省鸡西市鸡东县2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）（Word版含解析）

鸡东县2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷（A段）
一、选择题（本题共12小题，满分60分）
1.已知集合, 则 ( )
A. B.
C. D.
2.已知，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则( )
A.8 B.6 C.3 D.
4.函数的图象在点处的切线的斜率为( )
A. B. C.12 D.18
5.下列关于求导叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6.已知，，则图中阴影表示的集合是( )
A. B.或 C. D.
7.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A.9 B. C.10 D.无最小值
8.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A.30 B.60 C.120 D.240
9.小明去文具店购买中性笔，现有黑色 红色 蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有( )
A.10种 B.15种 C.21种 D.28种
10.8名学生和2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为( )
A. B. C. D.
11.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
12.春节放假，甲回老家过节的概率为，乙，丙回老家过节的概率分别为，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（20分）
13.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
14.“”是“一元二次方程有实数解”的 条件(填“充要”“充分不必要” “必要不充分”或“既不充 分也不必要”）.
15.非负实数满足，则的最小值为________．
16.的展开式中常数项为_________.
三、解答题（70分）
17.设a是实数，命题p：函数的最小值小于0，命题q：函数在R上是减函数，命题r：.
（1）若“”和“”都为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是r的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18.已知集合，.
(1)若是的充分条件，求a的取值范围.
(2)若，求a的取值范围.
19.已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求与；
(2)记，求数列的前n项和.
20.已知函数的极值点为1和2
（1）求实数的值
（2）求函数在区间上的最大值
21.已知集合，，，.
(1)求，；
(2)若，求a的取值范围.
22.2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
外来务工人数x/万 3 4 5 6
就地过年人数y/万 2.5 3 4 4.5
（1）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
（ⅰ）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
（ⅱ）若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考答案
1.答案：B
解析：因为, 所以
2.答案：B
解析：由题意可知，即，可得，可得，则p是q的必要不充分条件.故选B.
3.答案：B
解析：设正项等比数列的公比为q，则.
因为，是和的等差中项，所以，
所以，由于，，
所以，，
解得或（舍去），故.
故选B.
4.答案：C
解析：由，得，则
，在点处的切线的斜率为12.
5.答案：B
解析：对于A选项，，则，A选项错误；
对于B选项，，则，B选项正确；
对于C选项，，则，C选项错误；
对于D选项，，则，，D选项错误.
故选：B.
6.答案：D
解析：由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是，所以.故选D.
7.答案：A
解析：由，得，即，
所以：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为9，
故选：A
8.答案：B
解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种.
再将余下的6人平均分成两组有种.
然后这四个组自由搭配还有种，
故最终分配方法有种.
故选：B.
9.答案：D
解析：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，
将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，
6个小球 2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有种；
故选：D.
10.答案：C
解析：先将8名学生排成一排共有种排法，再在8个学生中间的7个空位种选择两个空位排2位老师有种排法，所以总的排法种数为.
故选：C.
11.答案：D
解析：
12.答案：B
解析：
13.答案：
解析：由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，所以，即a的取值范围是.
14.答案：充分不必要
解析：一元二次方程有实数解,即,因为，反之不成立，所以“”是“一元二次方程有实数解"的充分不必要 条件.
15.答案：0
解析：当时，；当时，由得
所以。所以的最小值为0
16.答案：
解析：的展开式中常数项为.
17.答案：（1）；（2）.
解析：（1）
则函数的最小值为，解得：
当命题q为真时：
，则不等式在R上恒成立
，解得：
因为“，”和“”都为假命题
为真命题，q为假命题
实数a的取值范围是
（2）若p是r的充分不必要条件
则，解得：
故实数m的取值范围是
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，不合题意.
当时，，要满足题意，
则解得.
当时，，要满足题意，
则无解.综上，a的取值范围为.
(2)要满足，
当时，，
则或，即或.
当时，，
则或，即.
当时，，.
综上，a的取值范围为.
19.答案：(1)；.
(2).
解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
20.答案：(1)
(2)最大值为
解析：(1)由得,
依题意有.
(2)由(1)得, ,
由或;
所以在上递增,在上递减,在上递增,
所以在区间上的或处取得极大值,
由.
21.答案：(1)；；(2).
解析：(1)因为，，
所以，或，
因此；
(2)因为，，
若，只需，
即a的取值范围为.
22.答案：（1）
（2）（ⅰ）估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为1750万元
（ⅱ）
解析：（1）由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）（ⅰ）将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
（ⅱ）设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.