2.5.2椭圆的几何性质 学案（Word版无答案）

椭圆的几何性质
【学习目标】
通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．
【学习重难点】
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．（重点、难点）
【学习过程】
一、新知初探
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心（0,0）
范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a]
顶点 A1（－a,0），A2（a,0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b,0），B2（b,0）
轴长 短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点 F1（－c,0），F2（c,0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝（0＜e＜1）
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a．（ ）
（2）椭圆上的点到焦点的距离的最小值a－c．（ ）
（3）椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆．（ ）
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A．（－1,0），（1,0）
B．（－6,0），（6,0）
C．（－，0），（，0）
D．（0，－），（0，）
3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．椭圆＋＝1的焦点坐标是_______，顶点坐标是_______．
三、合作探究
类型1：椭圆的几何性质
【例1】求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
类型2：利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，－4）．
类型3：求椭圆的离心率
【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
【学习小结】
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．
2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
3．求离心率e时，注意方程思想的运用．
【精炼反馈】
1．椭圆＋＝1的离心率（ ）
A． B．
C． D．
2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A． B．2
C． D．4
4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_______．
5．已知椭圆的标准方程为＋＝1．
（1）求椭圆的长轴长和短轴长；
（2）求椭圆的离心率；
（3）求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P（－4，1）的椭圆方程．
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