2022.6湖南普通高中学业水平合格性考试数学试卷3（PDF版含答案）

湖南省 2022 年普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷（三）
本试卷包括选择题、填空题、和解答题三部分。时量 90 分钟，满分 100 分
一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分。每小题 4 个选项中，只有 1个选项符合题目要
求，多选不给分）
1 y=1sinx+ 3、函数 cosx，x R 的最小正周期是（ ）
2 2

A、 B、π C、2 D、4π
2
2、一个频率分布表（样本容量为 30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为
0.8，则估计样本在[40，60）内的数据个数为（ ）
A、14 B、15 C、16 D、17
3、若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，且 f(2)=0，则不等式 f(log2 )>0 的解
集是（ ）
1 1 1 1
A、（ ，4） B、（0， ）∪（4，＋∞） C、（ ，2） D、（0， ）∪（2，＋∞）
4 4 2 2

4、若单位向量 a，b的夹角为 ，则 a·b=（ ）
3
A、2 1B、
2
3
C、 D、1
2
5、已知正三角形的面积为 3，则该三角形的边长是（ ）
A、5 B、4
C、3 D、2
6、用篱笆围一个面积为 100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱
笆的是（ ）
A、30 B、36 C、40 D、50
7、函数 y=lnx 的零点是（ ）
A、（0，0） B、x=0 C、x=1 D、不存在
8、函数 f(x)= 1的定义域是（ ）
A、｛x|x≥1} B、｛x|x≤1} C、｛x|x>1} D、｛x|x<1}
9、与 a>b 等价的不等式是（ ）
> 2 > 2 > 3 > 3A、|a| |b| B、a b C、 1 D、a b

10、若 A，B 为对立事件，则下列式子中成立的是（ ）
A、P(A)＋ P(B)<1 B、P(A)＋ P(B)>1
C、P(A)＋ P(B)=0 D、P(A)＋ P(B)=1

11、把函数 y=sinx 的图像向左平移 个单位后所得的新函数是（ ）
2

A、y=－cosx B、y=sinx－ C、y=sinx＋ D、y=cosx
2 2
12、在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，如果 sinA∶sinB∶sinC=1∶2∶3，那么 a∶b∶c=
（ ）
A、1∶ 3∶2 B、1∶2∶3
C、1∶4∶9 D、1∶ 2∶ 3
-x
13、函数 f(x)=5 在区间[－3,－2]上的最大值是（ ）
A、125 B、25
1 1
C、 D、
125 25
x+1，x>0,
14、设 f(x)= 1 ，x=0 则 f(f(0)等于（ ）
－1，x<0
A、1 B、0
C、2 D、－1
15、已知扇形的圆心角为 2，周长为 8，则扇形的面积为（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
16、如图所示的几何体是 （ ）
A、五棱锥
B、五棱台
C、五棱柱
D、五面体
17、已知集合 A=｛0，1，2｝，则（ ）
A、0 ∈ A B、1 A
C、2=A D、 ∈ A

18、简谐运动 y=4sin(5x－ ）的相位与初相分别是（ ）
3

A、5x－ ， B、5x－ ，4
3 3 3

C、5x－ ，－ D、4，
3 3 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上）.
19、已知集合 A=｛x｜-1的取值范围是
2 2
20、复数 z1=(m＋22)＋(m －2)i，z2=(m －8)＋(4m＋10)i，m∈R，若 z1=z2，则 m=
21、函数 y=-x2 的单调递增区间为 .
22、如果正ΔABC 的边长为 1，那么 · 等于
三、解答题（每小题 10 分，共 3 小题，满分 30 分）.
23、（本小题满分 10 分）
如图,AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点.
（1）求证：BC⊥平面 PAC；
（2）若 PA=AC=BC=2，求三棱锥 P－ABC 的体积.
24、（本小题满分 10 分）
某交通路段限速 70km/h，现对通过该路段的 n辆汽车车速进行检测、统计，并绘制成频率分布直方图（如
图）.
（1）若这 n 辆汽车中，速度在 60km/h～70km/h 之间的车辆有 150 辆，求 n 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计汽车在该路段超速的概率.
25、（本小题满分 10 分）
已知函数 f(x)=a|x|，g(x)=a-|x|，其中 a>0，且 a≠1.
（1）判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 都成立，求 a的取值范围；
（3）设 f(1)=2，直线 y=t1与 y=f(x)的图象交于 A，B 两点，直线 y=t2与 g(x)的图象交于 C，D 两点，得
到四边形 ABCD.证明：存在实数 t1，t2，使四边形 ABCD 为正方形.
参考答案
一、选择题
1-6 CBABDC 7-12 CADDDB 13-18 ACBCAD
二、填空题
1
19.｛m|m>1｝ 20.6 21.(-∞,0] 22、
2
三、解答题
23、解：(1)证明：∵ AB 为⊙O的直径，∠ACB=90°，则 BC⊥AC，∵ PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴ PA⊥BC，又∵ PA∩AC=A，且 PA，AC 平面 PAC，∴ 直线 BC⊥平面 PAC；
1
(2)由 PA=AC=BC=2，BC⊥AC，则 S ABC= ×AC×BC=2，又∵ PA⊥平面 ABC，所以 PA 就是三2
1 4
棱维 P-ABC 的高，则 VP-ABC= ×S ×PA=3 ABC 3
150
24、解：(1)由直方图可知，车速在 60km/h～70km/h 之间的频率为 0.3，所以 = 0.3.得 n = 500.

(2)由直方图可知，车速在 70km/h～80km/h 之间的频率为 0.28，车速在 80km/h～90km/h 之间的频
率为 0.1，所以可以估计汽车在该路段超速的概率为 0.28＋0.1=0.38
25、解：（1）因为 x∈R，且 f(-x)=f(x)，所以函数 f(x)为偶函数
（2）当 a＞1 时，因为|x|≥－|x|，y=ax在 R 上是增函数，所以 a|x|≥a-|x|，
即不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 都成立；当 0＜a＜1 时，因为|x|≥－|x|，y=ax在 R 上是减函数，
所以 a|x|≤a-|x|，与已知矛盾，综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞).
（3）由 f(1)=2，得 a=2.令 2|x|=t1，则 t1＞1，且 x=±log2t1，故|AB|=2log2t1，
令 2-|x|=t2，则 0＜t2＜1，且 x=±log2t2，故|CD|=－2log2t2，
1
由|AB|=|CD|，得 2log2t1=-2log2t2，故 t1t2=1.又因为|AB|=|BC|=t1－t2，得 2log2t1=t1－t2=t1－ .
t1
1 1 15
令 h(x)=x－ -－2log2x(x＞1)，由 h(2)=- ＜0，h(8)= ＞0， 2 8
得 h(2)·h(8)＜0，故 h(x)在(2，8)上存在零点，记为工 x0 .
1
令 t1=x0，t2= ，所以存在实数 t1，t2，使四边形 ABCD 为正方形，即原命题成立.
x0