2022.6湖南普通高中学业水平合格性考试数学试卷8（PDF版含答案）

湖南省 2022年普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷（八）
本试卷包括选择题、填空题、和解答题三部分。时量 90分钟，满分 100分
一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分。每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要
求，多选不给分）
1.已知集合 A 1,3,5 ， B 0,1,2 ，则 A B=（ ）
A. B. 1 C. {0,1} D. 1, 2,3
2.下列函数中为偶函数的是（ ）
A. y x B. y x 1 C. y = x2 D. y x3
3.不等式 (x 1)(x 3) 0的解集为（ ）
A. {x | 1 x 3} B. {x | 3 x 1} C. {x | x 1，或 x 3} D. {x | x 3，或 x 1}
4.命题“ x 1， x2 1”的否定形式是（ ）
A. x 1， x2 1 B. x 1， x2 1 C. x 1， x2 1 D. x 1， x2 1
5.已知四边形 ABCD 的两条对角线分别为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ AC BD”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
z 2 i6.设 ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
1 i
3 1 3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
7.函数 f (x) a x 1（a 0，且 a 1）的图象经过定点（ ）
A. (0,1) B. (0， 1) C. (0, 2) D. (1,1)
8.一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中
抽取一个容量为 28 的样本，则在男运动员中需要抽取的人数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
9.在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点 (3,4)，则 cos （ ）
4 3 4 3
A. B. C. D.
3 4 5 5
10.同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是 7 的概率是（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 6 12
11.下列函数中，在 R 上是增函数的是（ ）
x
A. y lg x B. y log 1 x C. y 1 D. y 10x
2 2

12.已知a (2,m 2)，b (4,m)，且 a / /b，则 m=（ ）
A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
13.函数 f (x) ln x x 3的零点的个数是（ ）
A. 0 B.1 C. 2 D.3
14.我国古代数学专著《九章算术》中的“堑堵”是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，三棱柱
ABC A1B1C1 为堑堵，其中 AB AC， AB 3， AC 1，则直线 BC 与 A1B1所成角是（ ）
A. 60° B. 30° C.45° D.150°
15.某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次中靶 B.只有一次中靶 C.两次都中靶 D.两次都不中靶
16.如图，在 ABC中，CD 是 AB 边上的中线，点 P是 CD 的中点，则（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A. AP AB AC B. AP AB AC C. AP AB AC D. AP AB AC
4 2 2 4 3 2 2 3
x
17.函数 f (x) 4 1 的图象关于（ ）
2x 1
A.y 轴对称 B.直线 y x对称 C.坐标原点对称 D.直线 y x对称
18.如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.
房屋地面面积为18m2，高度为 3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为 1000 元，屋顶的造价为
6000 元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为（ ）
A.40000 元 B.42000 元 C.45000 元 D.48000 元
二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上）.
19. sin 300 _______．
20.若 f (x 1) x 1 2，则 f 2 ___________.
21. 若函数 f x sin x 3 cos x 在 x 时取得最大值，则 的一个取值为___________.

22.如图，设Ox、Oy是平面内相交成60 角的两条数轴， e y1、 e2 分别是与 x轴、 轴正方向同向的

单位向量．若向量OP xe1 ye2 ，则把有序实数对 x, y 叫做向量OP在斜坐标系 xOy中的坐标，

记作OP x, y．在此斜坐标系 xOy中，已知 a 2,3，b 5,2， a,b夹角为 ，则 ______．
三.解答题（每小题 10 分，共 3 小题，满分 30 分）.
23. ABC中的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 sin A 3 cos A 0 .
（1）求角 A；（2）若b 4， c 2，求 a.
24.从某部门参加职业技能测试的 2000名员工中抽取 100名员工，将其成绩（满分 100分）按照
[20,40)，[40,60)，[60.80)，[80,100]分成 4组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该部门参加测试员工的成绩的中位数；（2）估计该部门参加测试员工的平均成绩.
25.如图，AB是半圆 O的直径，C是半圆上一点，M是 PB的中点， PA 平面 ABC，
且 PA 2 3， AB 4， ABC 30 .
（1）求证: BC⊥平面 PAC；（2）求三棱锥 M—ABC体积.
参考答案
一．选择题
1.解析： A 1,3,5 ，B 0,1,2 ， A B 1 ，故选 B
2.解析： y x 定义域为 0, ，不关于原点对称，不是偶函数； y x 1是非奇非偶函数； y = x2是
偶函数， y x3是奇函数；故选：C．
3.解析：因为 (x 1)(x 3) 0，所以 -1< x < 3，即不等式的解集为{x | 1 x 3}，故选： A
4.解析： “任意”改为“存在”，否定结论即可. 对“ x 1， x2 1 ”的否定形式是“ x 1， x2 1”.
故选 B
5.解析：若四边形 ABCD为菱形，则 AC BD；反之，若 AC BD，则四边形 ABCD不一定是菱形．故
为充分不必要条件.故选 A．
2 i 2 iz 1 i 1 3i 1 36.解析：因为 i z 1 3 3 ，所以 i，所以 的虚部为 ，故选：1 i 1 i 1 i 2 2 2 2 2 z 2
C
7.解析：因为 f (x) a x 1（ a 0，且 a 1），令 x 0，则 f 0 a0 1 2，故函数过点 0,2 ，
故选C
56 4 4
8.解析：由题,男运动员占总体运动员的 ,所以男运动员中需要抽取的人数为 28 16 ,故
56 42 7 7
选:C
x 3
9.解析： x 3，y 4，r 32 42 5， 由任意角的三角函数的定义知，cos ，故选D．r 5
10.解析：同时掷两个均匀骰子，基本事件有6 6 36种，其中点数和为 7 的有 16,25,34,43,52,61 共 6
6 1
种，所以概率为 P ．故选：C．
36 6
11.解析：A,B中函数定义域是 (0, )，C,D
1 x
中函数定义域是 R，其中 y ( ) 是减函数， y 10x是增
2
函数．故选：D．
r r
12.解析：因为a (2,m 2)，b (4,m)，且 a//b，所以 2 m 4 m 2 ，解得m 4故选 A
13.解析：因为 y ln x与 y x 3在 0, 上单调递增，所以 f (x) ln x x 3也在 0, 上单调
递增，又 f 1 ln1 1 3 2 0， f 3 ln3 3 3 ln3 0所以 f 1 f 3 0，故函数在 1,3
上存在唯一零点，故选： B
14.解析：在三棱柱 ABC A1B1C1中，AB//A1B1，所以 ABC为异面直线 A1B1与 BC所成的角，在 ABC
AB AC AC 1 tan ABC AC 1 3中， ， AB 3， ，所以 ，所以 ABC 30 ，故异面
AB 3 3
直线 A 1B1与 BC所成的角为30 ，故选 B
15.解析： “至少有一次中靶”与 “至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故 A 错误.“至少有一次
中靶”与“只有一次中靶” 均包含中靶一次的情况.故 B 错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”
均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都
不中靶”.故选：D
1 1
16.解析：依题意可得 AP AC AD2 ， AD AB，2
1 1 1 1 1 所以 AP AC AD AC AB AC AB，故选： A2 2 2 2 4
x 1
17 f (x) 4 1 (2x 2 x ) f (
1
x) (2 x 2x.解析： ，所以 ) f (x)，函数为偶函数，图象关于 y
2x 1 2 2
轴对称．故选：A．
xm 18m y 6000 1000 18 18.解析：设房屋的长为 ，则宽为 ，则总造价 3x 2 3x x
36
y 6000 3000 x 36

6000 3000 2 x
36
42000 ，当且仅当 x ，即 x 6时取等号；
x x x
故当长等于6m，宽等于3m时，房屋的最低总造价为 42000元，故选 B
二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上）.
1
19、 ．
2
20、【解析】因为 f (x 1) x 1 2，所以 f 2 f (1 1) (1 1)2 4，故答案为：4

21. （答案不唯一）
6

f (x) 2 1 sin x 3 cos x 2sin 【解析】因为 x ，
2 2

3

所以当 x 2k ， k Z，即 x 2k ， k Z时， f (x)取得最大值，
3 2 6

所以 2k ， k Z ，所以 可以取 .故答案为： （答案不唯一）
6 6 6

22.【解析】由题, a 2e1 3e2 ,b 5e1 2e2 ,
2 2a b 2e 1 19所以 1 3e2 5e1 2e2 10e1 11e1 e2 6e2 10 11 6 2 2
a 2 2e1 3e2 2
2 2 1
4e1 12e1 e2 9e2 4 12 9 19 ,则 a 19 ,2
2 2 b 2 2 5e1 2e2 25e1 20e1 e2 4e2 25 20 1 4 19 ,则 b 19 ,2
19 2 2
所以 cos a b 2 1 ,则 故答案为： a b 19 19 2 3 3
三.解答题（每小题 10 分，共 3 小题，满分 30 分）.
23. ABC中的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 sin A 3 cos A 0 .
（1）求角 A；（2）若b 4， c 2，求 a.

【解析】 （1）由 sin A 3 cos A 0，易知cos A 0，则 tan A 3 .因为0 A ，所以 A .3
2 a2 b2 c2（ ）由余弦定理得 2bc cos A 16 4 2
1
4 2 12，所以
2 a 2 3
.
24.从某部门参加职业技能测试的 2000名员工中抽取 100名员工，将其成绩（满分 100分）按照
[20,40)，[40,60)，[60.80)，[80,100]分成 4组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该部门参加测试员工的成绩的中位数；（2）估计该部门参加测试员工的平均成绩.
【答案】（1）中位数为 70分.（2）平均成绩为 68分.
【解析】（1）设中位数为 x分.因为前 2组频率之和为 0.1 0.2 0.3 0.5，
而前 3组频率之和为 0.1 0.2 0.4 07 0.5，所以60 x 80 .
由0.02(x 60) 0.5 (0.1 0.2) 解得 x 70 .故可估计该部门参加测试员工的成绩的中位数为 70分.
（2）抽取的 100名员工的平均成绩 x 30 0.1 50 0.2 70 0.4 90 0.3 3 10 28 27 68 .
故可估计该部门参加测试员工的平均成绩为 68分.
25.如图，AB是半圆 O的直径，C是半圆上一点，M是 PB的中点， PA 平面 ABC，
且 PA 2 3， AB 4， ABC 30 .
（1）求证: BC⊥平面 PAC；（2）求三棱锥 M—ABC体积.
【解析】（1）证明:因为 AB是半圆O的直径，所以 AC BC .
因为 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 PA BC，
又因为 AC 平面 PAC， PA 平面 PAC，且 AC PA A ，所以 BC⊥平面 PAC .
1
（2）解:因为 ABC 30 ， AB 4，所以 BC 2 3， S ABC AB BC sin 30 2 3 .2
连接OM .因为O、M 分别是 AB，PB的中点，所以OM //PA，OM 1 PA 3 .又 PA 平面 ABC .
2
所以OM 平面 ABC 1.因此OM 为三棱锥M ABC的高.所以VM ABC 2 3 3 2 .3