北师大初中数学七下第二章平行线与相交线全章学案（共8课时）

2.1 两条直线的位置关系(1)
一、学习目标：
1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。
3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。
二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等。
三、学习难点：学生探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。
四、学习设计：
（一）预习准备：预习书38、39页，回答下列问题：
（1）在 内，两条直线的位置关系有 和 两种。
（2）若两条直线 ，我们称这两条直线为相交线。
（3）在 内，不相交的两条直线叫 。
（4）下列图形中是对顶角的有 个。
（5）预习作业：
①已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________
②已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________
（二）学习过程：
1、创设情境，引入课题
完成书P38议一议，填空：
（1）对顶角具有的特点是①
② 。
（2）对顶角的性质是 。
2、展示新知：
完成书P39想一想，填空：
⑴如果两个角的和等于 ，我们就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，简称互补。
⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o ， 那么∠1与∠2互余。
若∠3+∠4=180o ， 那么∠3与∠4互补。
3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；例如∠1和∠2互余，即∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。
　　（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系。
4、应用新知体验成功
⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________
⑵若∠1= 90o—∠2，则∠1+∠2=__________
（3）填表：
一个角 30° 70° ∠A
这个角的余角
这个角的补角
5、探讨余角与补角的性质
做书P39 做一做
结论：同角或等角的 相等； 的补角相等。
巩固练习：
(1)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪 些角互为余角 哪些角互为补角 ∠ADC与
∠BDC有什么关系 为什么
∠ADF与∠BDE有什么关系 为什么
(9)已知：如图∠AOB =∠COD=90°，问：图中有几对相等的角，并说明理由
（三）课堂练习：
1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．
2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若
∠COE=55°，求∠BOD的度数．
4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，
∠AOC=120°。求∠BOD，∠AOE的度数．
（四）拓展训练：
1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，
∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．
2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．
3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．
4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．
七、小结：
互余 互补 对顶角
数量关系
对应图形关系
性质
两条直线的位置关系(2)
学习目标：
1．使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质．
2．会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能．
3．通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力．
二、学习重点：垂线的意义、性质和画法
三、学习难点：垂线的画法
四、学习设计：
（一）预习准备：预习书P41，回答下列问题：
(1) 在平面内的两条直线有 和 两种位置关系，而垂直是 位置关系中的一种特殊情况。
（2） ,那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫 ．
（3）通常用符号 表示两条直线互相垂直，“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于M，含义是直线AB与直线CD垂直，垂足是M。
（4）如图，若AB⊥CD于O，则∠AOC= °；
若∠BOC=90°，则 。
（二）学习过程：
（1）自主探究：垂线的画法，完成书P41的做一做。
巩固练习：如图，在方格纸上，分别过A画AD的垂线、过B画EF的垂线、过C画GF的垂线.
（2）自主探究：垂线的性质，完成书P41、42想一想。
结论：平面内，过一点 与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 。
叫点到直线的距离。
巩固练习：如图，通过画图并量得点A到直线的距离等
于 厘米.（精确到0.1厘米）
（三）课堂练习：
1、判断题：
（1）在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （ ）
（2）过直线上一点不存在直线与已知直线垂直. （ ）
（3）过直线外一点A作的垂线，垂线的长度叫做点A到直线的距离.（ ）
（4）一条线段有无数条垂线. （ ）
（5）如图，线段AB与线段CD
不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（ ）
（6）互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90 . （ ）
2、下列说法错误的个数是( )
一条直线的垂线只有一条；②一条直线的垂线有无数条；
③过一点画一条直线的垂线只能画一条
A、0 B、1 C、2 D、3
3、如果两条直线相交成( )，那么这两条直线互相垂直
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、任意一个角
4、过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在( )
A、这条线段上 B、这条线段的端点上
C、这条线段的延长线上 D、以上都有可能
5、在一个平面内过直线上一点A画的平行线，能画出 条；过直线上一点A画的垂线，能画出 条.
6、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
（1） （2） （3） （4）
7、将一张长方形纸对折，使OA与OB重合，这时∠AOC是什么角？为什么？
（四）拓展训练：
1、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.
画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线，在上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？
画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？
2、按题目要求画图，并回答相关问题.
画两条直线m，n，使m∥n，在直线m上任取两点A，B，分别过A，B作直线n的垂线，垂足分别为C，D，量一量线段AC，BD的长，你发现了什么结论？
如图，点P是∠AOB内一点，过点P作PM⊥OA，
垂足为M，作PN⊥OB，垂足为N，量一量∠MPN
和∠O，你发现了什么结论？
2.2 探索直线平行的条件（1）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
2、会认由三线八角所成的同位角。
3、掌握平行线公理及平行线的传递性。
4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题
二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”
三、学习难点：判断两直线平行的说理过程
四、学习设计：
（一）课前准备
（1）预习书44-48页
（2） 思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？
（3）预习作业
如图所示，①是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；②是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的；③是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的。
（二）学习过程
1、两直线被第三直线所截，可形成的角有 ， ， 。
例1如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角是 ，是对顶角的是 。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理）
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ ( )
如图
（1）
（垂直的定义）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律
变式训练：如图所示
1、（已知）
∴ ∥ （ ）
2、（已知）
∴ ∥ （ ）
例3、如图，已知，直线BC与DF平行吗？为什么？
变式训练：如图，已知，试问a与b平行吗？说说你的理由。
过已知直线a外一点p画a的平行线b
P .
a
平行线公理：过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
平行线的传递性：
几何语言：
拓展：
如图，已知，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。
2.2 探索直线平行的条件（2）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。
3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
三、学习难点：
会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书47-48页
（2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？
同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：
基本图形 角的名称 位置特征 图形结构特征
②同位角相等，两直线平行。
（3）预习作业：
如图所示：
（1）如果，那么 ∥
理由是
（2）如果，那么 ∥
理由是
（3）如果，那么 ∥
理由是
（4）如果，那么 ∥
理由是
（二）新课学行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两直线 。
简称：
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两直线 。
简称：
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
例1、如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
∵∠2＝
∴ ∥ ，（同位角相等，两直线平行）
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，
∴AC∥FG，
变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？
例2、如图，已知，那么AB∥CD成立吗？请说明理由。
变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？
解：为∠1+∠2=180°（ ）
所以AB∥_______（ ）
又因为∠1=∠3（ ）
所以∠2+∠________=180°（ ）
所以EF∥GH（ ）
拓展：1、如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．
解：AB∥CD 理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（ ）
∴∠1= ,∠2＝ （ ）
∵∠1+∠2=90 ( )
∴∠ABD+∠CDB＝ ＝ ＝180 。
∴CD∥AB（ ）
2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。
（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180 ；
（3）∠CAD＝∠ACB。
当堂测评：
1．下列结论中，不正确的是（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行。
D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
2．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定这两条直线平行的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．同旁内角相等
3．如图① 不能判定∥的一组条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠3=∠4 D．∠2=∠6
4．如图② 能够判定DE∥BC的条件是（ ）
A． ∠DCE+∠DEC= B． ∠EDC=∠DCB
C． ∠BGF=∠DCB D． CD⊥AB，GF⊥AB
5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4
图5 图6 图7
6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（ ）
①∠1=∠D； ②∠CFB+∠D=180°； ③∠B=∠D； ④∠BFD=∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图7所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
8．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．
9．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条件_______， 使AD∥BC．
图2 图3
10．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．
11．如图③， 已知CDE是直线，∠1=，∠A=。
求证：AB∥CD。
证明：∵CDE是一条直线（ ）
∴∠1+∠2=（平角定义）
∵∠1=（ ），∴∠2=（ ）
又∵∠A=（ ），∴∠2=∠A（ ）
∴AB∥CD（ ）
12．下列括号内填写的理由是否正确，若有错加以改正
（1）如图④ ∵∠1=，∠2=（已知）∴∠1=∠2（同位角相等）
∴∥（同位角相等，两直线平行）
（2）如图⑤ ∵∥，∥（已知）
∴∥（等量代换）
（3）如图⑥ ∵∠A=，∠ACE=（已知）
∴∠A=∠ACE（内错角相等）
∴BA∥CE（两直线平行）
13．如图⑦ 已知∠2=3∠1，且∠3+∠1=，试说明：AB∥CD
14．已知如图⑧ MP、NP分别平分∠BMF、∠END，且∠1与∠2互余，
求证：AB∥CD
2.3 平行线的性质
一、学习目标
1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题。
二、学习重点
平行线的特征的探索
三、学习难点
运用平行线的特征进行有条理的分析、表达
四、学习过程
第一课时
（一）预习准备
（1）预习书50-51页
（2）看书上50页图2-18，并回答四个问题
（二）学习过程
1订正预习作业
2得出平行线的性质
（1）
（2）
（3）
3完成书上50页的做一做
4完成书上51页的随堂练习和习题2.5
第二课时
（一）预习准备
（1）预习书52-54页
（2）回顾：平行线有哪些判定方法和性质？
（3）预习作业
1、如图，已知BE是AB的延长线，并且AD∥BC,AB∥DC，若，则 度， 度。
2、如图，当 ∥ 时，；
当 ∥ 时，；
（二）学习过程
1书上52页例1，例2，例3
2完成书上53页想一想
3完成书上的随堂练习
4完成书上54页的习题2.6
例 如图，已知AD∥BE，AC∥DE，，可推出（1）；（2）AB∥CD。填出推理理由。
证明：（1）∵AD∥BE（ ）
∴（ ）
又∵AC∥ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
（2）∵AD∥ （ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴（ ）
∴AB∥CD（ ）
变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（ ）
A、∵DE∥BC ∴（同位角相等，两直线平行）
B、∵ ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
C、∵DE∥BC ∴（两直线平行，内错角相等）
D、∵ ∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）
例,如图，已知AB∥CD，求的度数。
变式训练：如图，，已知AB∥CD，试说明
拓展：1、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，的平分线与的平分线相交于点P，则，试说明理由。
如图，已知EF∥AB，CD⊥AB，，试说明
DG∥BC。
回顾小结：
1、说说平行线的三个性质是什么？
2、平行线的性质与平行线的判定的区别：
判定：角的关系 平行关系
性质：平行关系 角的关系
3、证平行，用判定；知平行，用性质。
2.4用尺规作角
一、学习目标：1、会用尺规作一个角等于已知角。
二、学习重点：1、作一个角等于已知角。
2、作角的和、差、倍数等。
三、学习难点：作角的和、差、倍。
四、学习方法：猜想、实践法
五、学习设计
（一）预习准备
问题的提出：
如右图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。
（1）请过点C画出与AB平行的另一条边。
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，
你能解决这个问题吗？
(二 )、新课:
内容一:(请按作图步骤和要求操作,别忘了留下作图痕迹)
用尺规作一个角等于已知角.
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB
作法 图
（1）作射线OˊAˊ
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线 O′B′。则∠A′O′B′就是所求作的角。
(二) 用尺规作一个角等于已知角的倍数:
(3) 已知：∠1
求作： ∠MON，使∠MON=2∠1
∠COD，使∠COD=3∠1
(三) 用尺规作一个角等于已知角的和:
(4) 已知：∠1、∠2、∠3
求作： ∠POQ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3
(四) 用尺规作一个角等于已知角的差:
已知：∠、∠、∠
求作：∠AOB，使∠AOB=∠－∠
∠POQ，使∠POQ=∠－∠－∠
求作一个角，使它等于2∠－∠
(六) 综合练习:
1、 下列说法正确的是（ ）
A、在直线l上取线段AB=a B、作
C、延长射线OA D、反向延长射线OB
2、已知:线段AB、 ∠、∠,求作：分别过点A、点B作∠CAB=∠ 、∠CBA=∠
如图，点P为∠ABC的边AB上的一点，过点P作直线EF//BC
4、已知：直线l和l外一点P，
求作：一条直线，使它经过点P，并与已知直线l平行
已知：△ABC
求作：直线MN，使MN经过点A，且MN//BC
如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外再作一个角，使其等于∠ABC
七、 小结：今天我们学习了用尺规作一个角等于已知角，它是一个基本的作图方法。
常见作图语言：（1）作∠XXX=∠XXX。
（2）作XX（射线）平分∠XXX。
（3）过点X作XX⊥XX，垂足为点X。
八、作业:习题2.7 1、2题
回顾与思考
一、课前诊测
1、构建知识框架
2、怎样用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角？
3、完成书P58-59，知识技能部分。
二、典型例题
例1 已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB，CD于M、N，MG、NH分别是的平分线。试说明MG∥NH。
析：此题考察角平分线、平行线的性质和平行的条件等知识。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴ = （ ）
∵MG平分（已知）
∴ = = （ ）
∵NH平分（已知）
∴ = = （ ）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
已知，如图
证明：∵AF与DB相交（已知）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ =∠D（ ）
∵（已知）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ = （ ）
已知，如图AB∥EF，,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由。
证明：连接BE，交CD于点O
∵AB∥EF（已知）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ — = — （ ）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
三、巩固练习
1、下列说法错误的是（ ）
A、是同位角 B、是同位角
C、是同旁内角 D、是内错角
2、已知：如图，AD∥BC，，求证：AB∥DC。
证：∵AD∥BC(已知)
∴ （ ）
又∵（已知）
∴（ ）
∴
∴AB∥DC（ ）
3、已知：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且，，求的度数。
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知） ∴∠BEF=∠BDC=90°(垂直的定义)
∴ ∥ （ ）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ = （ ）
∴ ∥ （ ）
∴ = （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
4、如图，已知。
推理过程：∵（ ）
（已知）
∴（等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴∠3+∠6=180°（ ）
又∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
5、如图，BE∥CD，，试说明
推理过程： ∵BE∥CD（ ）
∴ （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
∴BC∥ （ ）
∴（ ）
6、如图，BE平分，DE平分，DG平分,且，试说明BE∥DG.
推理过程：∵BE平分，DE平分（ ）
∴ ， （ ）
∵（已知）
∴ =180°
∴ ∥ （ ）
∴ （ ）
∵DG平分（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
∴BE∥DG（ ）
四、课后练习　　<优化>P19　教材P59-60 数学理解 问题解决
2
1
1 ∠3与∠4
2
4
4
3
D
2
E
F
A
1
B
C
C
O
A
B
D
2
1
1 ∠3与∠4
2
4
3
4
P
l
两条直线的位置关系
相交线
平行线
概念
两直线平行的条件
平行线的性质
两直线相交
两直线被第三直线所截
对顶角概念，性质：对顶角　　　　　　　
余角概念，性质：同角或等角　　　　　　　　
补角概念，性质：同角或等角　　　　　　　　
垂线概念，性质：平面内，过一点　　　　　　　　　　
　　　　　；直线外一点与直线上各点连接的所　　　　　　　
有线段中，　　　　　；点到直线的距离的概念
“三线八角”及识别
1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
过直线外一点　　　　　　　　　　　　　　　
平行于同一直线的两条直线　　　　。
PAGE
2