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2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A x 1 x 1. 已知集合 ， x y log2 4 x ，则 A B （ ）
x 1
A． x∣ 4 x 1 B． x 1 x 4 C． x 1 x 4 D． x x 1
2. 若复数 z满足 z 1 3i 3，则 z 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
2
3. 已知函数 f (x) ln( 1 x x) sin x则函数 f (x)的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4. 英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到
e 1 1 1 1 1 e
e
（其中 e 为自然对数的底数，0 1），其拉格朗日余项是 R
1! 2! 3! n! (n 1)! n
．可
(n 1)!
3
以看出，右边的项用得越多，计算得到的 e 的近似值也就越精确．若 (n 1)!近似地表示 e 的泰勒公式的拉格朗
日余项 R 1n，Rn不超过 时，正整数 n的最小值是（ ）1000
A．5 B．6 C．7 D．8
5. 已知 , 0, cos2 1 ，且 tan 2，则 cos sin 2 （ ）
4 3 3 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
6. 已知 e1,e2 为单位向量，满足 e1 e2 2e1 a 1，则 a e2 的最小值为（ ）
A． 3 1 B． 3 C． 7 1 D． 7
1
x2 y2 F c,0 ,M x , 2b7. 已知椭圆C : 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 c,0 2 和a b2 2 1 c 为
C 上一点，且△MF1F2 的
内心为 I x2 ,1 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
1 2 3
A． B． C 1． 2 D．3 5 5
8. 已知函数 f (x) ex e x 2cos x，若不相等的实数 a，b，c成等比数列，R f (
a c )，S f (b)，T f (0)，
2
则 R、S、T的大小关系为（ ）
A． R S T B．T R S C． S R T D．T S R
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间
40,100 内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，
则下列说法中正确的是（ ）
A． a 0.15
B．优秀学生人数比不及格学生人数少15人
C．该次比赛成绩的平均分约为 70.5
D．这次比赛成绩的 69%分位数估计为78
10. 已知 a，b R ，则使“ a b 1”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． a2 b2 1 B． | a | |b | 1
4 b 1
C． 2a 2b 1 D． 10a b
π π
11. 将函数 f x cos x 0 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，且 g 0 1，则下
2 2
列说法正确的是（ ）
A． g x π 为奇函数 B． g 0
2
C．当 5时， g x 在 0, π π 上有 4个极值点 D．若 g x 在 0, 5 上单调递增，则
的最大值为 5
12. 已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1中，AB 3，A1B1 2，高为 2，E,F 分别为D1C1，A1D1的中点，G是对角线 BD
上的一个动点，则以下正确的是（ ）
A．平面 EFD //平面 ACB1
B 1．点 E到平面 ACB1的距离是点 B到平面 ACB1的距离的 2
C．若点G为BD的中点，则三棱锥G EFD1外接球的表面积为6
D．异面直线EG与 AC所成角的正切值的最小值为 2 2
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 2
13. 已知圆C : x y 4x 0，过点M (1,1)的直线被圆截得的弦长的最小值为_______
14. 已知 (ax2 1)(x 2 )5的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 x的系数为________
x
15. 已知函数 f (x)满足 f (x 3) f (1 x) 9 f (2)对任意 x R 恒成立，又函数 f (x 9)的图象关于点 ( 9,0)对称，且
f (1) 2022, 则 f (45) ________．
16. 某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无
限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列 1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码 99 共出现
__________次．
1 1 1 1 1 1 …
1 2 3 4 5 6 …
1 3 5 7 9 11 …
1 4 7 10 13 16 …
1 5 9 13 17 21 …
1 6 11 16 21 26 …
… … … … … … …
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10 分）在① AB 2 5，② ADB 135 ，③ BAD C这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求 BD的长和 ABC的面积．如图，在
AD AC, AD 1,sin BAC 2 5
ABC中，D 为 BC边上一点， 5 ，_______，求BD的
长和 ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. （12 分）如图，AB,CD 分别是圆台上、下底面的直径，且 AB//CD ，点 E是下底面圆周上一点，AB= 2 2，圆
台的高为 14 .
(1) 证明：不存在点 E 使平面 AEC 平面 ADE;
(2) 若 DE=CE=4,求二面角 D-AE-B 的余弦值.
3
19. （12分）已知各项均为正数的数列 中， 2 21 = 1且满足 +1 = 2 + 2 +1, 数列 的前n项
和为 ，满足 2 + 1 = 3 .
(1)求数列 , 的通项公式；
(2)若在 与 +1之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ： 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 4, ,
求数列 中前50项的和 50.
20. （12 分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有 x 个孩子的概率模型为：
x 1 2 3 0
概率 1 p 1 p 2p
其中 0，0 p 1 1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 2 且相互独立，事件 Ai表示一个家庭有 i 个
孩子 i 0,1,2,3 ，事件 B 表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．)
1 3
（1）若 p ，求 ，并根据全概率公式P(B) P B∣Ai P Ai ，求 P B ；2 i 0
（2）为了调控未来人口结构，其中参数 p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加
等)．①若希望P(x 2)增大，如何调控 p的值？②是否存在 p的值使得 E x 5 ，请说明理由．
3
21. （12 分）在平面直角坐标系中，已知 A1(-1,0)，A2 1,0 ，M x, y ，x 0，点M 满足 kMA k1 MA2 =3，记M
的轨迹为 C.
(1) 求 C 的方程；
1
(2) 过点 P ,0
2 作两条互相垂直的直线
l1和 l2，直线 l1与 C 相交于两个不同的点 A 和 B，在线段 AB 上取点Q，
AQ AP
满足 ,直线 l2交直线 x 2于点R ，试问 PQRQB PB 面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存
在，说明理由
ax2 1
22. （12 2分）已知函数 f (x) x 2x(a R)（ e 2.71828x …是自然对数的底数）．e 2
（1）若 f (x)在 x (0，2)内有两个极值点，求实数 a 的取值范围；
1 1
（2） a 1时，讨论关于 x 的方程 f (x) x2 2x
x b | ln x | (b R)的根的个数． 2 xe
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2022年普通高等学校招生全国统考试
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