(共19张PPT)
第四章 因 式 分 解
第31课时 公式法(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝__________________;
a2－2ab＋b2＝__________________.
(a＋b)2
(a－b)2
下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A. 4x2－1 B. x2－2x－1
C. 4x2＋2x＋1 D. 4x2－4x＋1
D
课堂导练
知识点1 用完全平方公式因式分解(1)
解：(1)x2y2－2xy＋1
＝(xy)2－2xy＋1
＝(xy－1)2.
解：(2)9－12t＋4t2
＝32－2×3×2t＋(2t)2
＝(3－2t)2.
解：(4)25m2－80m＋64
＝(5m)2－2×5m×8＋82
＝(5m－8)2.
思路点拨：分别整理成完全平方公式的形式，然后利用完全平方公式分解因式即可.
解：(1)3ax2－6axy＋3ay2
＝3a(x2－2xy＋y2)
＝3a(x－y)2.
解：(2)－mp2＋4mp－4m
＝－m(p2－4p＋4)
＝－m(p－2)2.
(3)－3ma2＋12ma－12m
＝－3m(a2－4a＋4)
＝－3m(a－2)2.
【例2】把下列各式因式分解：
(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；
(2)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2;
(3)4－12(x－y)＋9(x－y)2；
(4)(x＋y)2－4(x＋y－1).
知识点2 用完全平方公式因式分解(2)
解：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9
＝(x＋y＋3)
解：2.(2)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝(a－b－c)2.
(3)4－12(x－y)＋9(x－y)2
＝[2－3(x－y)]2
＝(2－3x＋3y)2.
(4)(x＋y)2－4(x＋y－1)
＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4
＝(x＋y－2)2.
思路点拨：(1)～(3)利用完全平方公式分解即可;
(4)把(x＋y)看作一个整体，并把第二项展开，然后利用完全平方公式分解因式.
2. 把下列各式因式分解：
(1)16－24(x－y)＋9(x－y)2；
(2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9；
(3)4x2－4x(y－1)＋(y－1)2；
(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
解：(1)16－24(x－y)＋9(x－y)2
＝[4－3(x－y)]2
＝(4－3x＋3y)2.
解：(2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9
＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9
＝(x2－1－3)2
＝(x－2)2(x＋2)2.
(3)4x2－4x(y－1)＋(y－1)2
＝[2x－(y－1)]2
＝(2x－y＋1)2.
(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
【例3】已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2－b2＋ac－bc＝0，请判断△ABC的形状.
知识点3 创新题
解：∵a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a2－b2)＋(ac－bc)＝0.
∴(a＋b)(a－b)＋c(a－b)＝0.
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0.∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a＋b＋c≠0.∴a－b＝0.∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形.
思路点拨：根据题目中的式子，利用因式分解进行变形，即可得到a和b的关系，从而可以判断三角形的形状.
3. 已知△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－12a－16b－20c＋200＝0，请判断△ABC的形状并说明理由.
解：△ABC为直角三角形. 理由如下.
∵a2＋b2＋c2－12a－16b－20c＋200
＝a2－12a＋36＋b2－16b＋64＋c2－20c＋100
＝(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2
＝0，
∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
∵a2＋b2＝36＋64＝100＝c2,
∴△ABC为直角三角形.
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单元复习课
专题三 中考新题型(中考新动向)
易错考点
【考点一】因式分解的创新应用
【例1】(创新题)小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－y，a－b，5，x2－y2，a，x＋y，a2－ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽. 现将5a2(x2－y2)－5ab(x2－y2)因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是( )
A. 我爱美丽城 B. 我爱城运会
C. 城运会我爱 D. 我美城运会
B
【对应练习】
1. (变式创新题)小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：化、爱、我、数、学、新. 现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 我爱学 B. 爱新化
C. 我爱新化 D. 新化数学
C
【考点二】因式分解的应用
【例2】(创新题)若a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足a2－2ab＋b2＝0，b2－c2＝0，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
D
【对应练习】
2. (变式创新题)若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
D
【考点三】因式分解的材料阅读运用
【例3】（材料阅读题）阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，例如，把x2＋6x－16分解因式，我们可以这样进行：
x2＋6x－16
＝x2＋2·x·3＋32－32－16（加上32，再减去32）
＝（x＋3）2－52（运用完全平方公式）
＝（x＋3＋5）（x＋3－5）（运用平方差公式）
＝（x＋8）（x－2）（化简）
运用此方法解决下列问题：
（1）x2－10x＋____________＝（x－____________）2；（2）把x2－8x＋12分解因式．
52
5
解：（2）x2－8x＋12
＝x2－2·x·4＋42－42＋12
＝（x－4）2－22
＝（x－4＋2）（x－4－2）
＝（x－2）（x－6）．
【对应练习】
3. （材料阅读题）因式分解是学习分式的重要基础，面对一些看似复杂的二次三项式，我们可以综合平方差公式和完全平方公式进行分解，例如：x2－2x－3＝x2－2x＋12－12－3＝（x－1）2－4＝[（x－1）＋2][（x－1）－2]＝（x＋1）（x－3）. 根据上述的提示，解答下列问题：
（1）仿照提示中的步骤，证明x2－10x－56＝
（x－14）（x＋4）；
（2）对二次三项式x2＋10x－24进行因式分解．
（1）证明：x2－10x－56
＝x2－10x＋25－81
＝（x－5）2－92
＝（x－5＋9）（x－5－9）
＝（x＋4）（x－14）．
（2）解：x2＋10x－24
＝x2＋10x＋25－49
＝（x＋5）2－72
＝（x＋5＋7）（x＋5－7）
＝（x＋12）（x－2）．
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第四章 因 式 分 解
第28课时 提公因式法(一)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 多项式各项都含有的____________，叫做这个多项式各项的____________.
相同因式
公因式
1. 在多项式8a3b2－4a3bc中，各项的公因式是( )
A. a3b B. 4a3b
C. 4a3 D. －a3
B
B. 如果一个多项式的各项含有____________，那么就可以把这个____________提出来，从而将多项式化成______________________的形式.这种因式分解的方法叫做____________________.
公因式
公因式
两个因式乘积
提公因式法
2. 用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是( )
A. 2n2－mn＋n＝2n(n－m)
B. 2n2－mn＋n＝n(2－m＋1)
C. 2n2－mn＋n＝n(2n－m)
D. 2n2－mn＋n＝n(2n－m＋1)
D
课堂导练
知识点1 公因式的概念
解：(1)3a2y－3ay＋6y的各项的公因式是3y.
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b的各项的公因式是－9a2b.
思路点拨：根据公因式的概念来解答. 多项式ma＋mb＋mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式.
1. 确定下列多项式的公因式，并分解因式.
(1)ax＋ay; (2)3mx－6nx2;
(3)4a2b＋10ab－2ab2.
解：(1)ax＋ay的各项的公因式为a，
因式分解为原式＝a(x＋y).
(2)3mx－6nx2的各项的公因式为3x，
因式分解为原式＝3x(m－2nx).
(3)4a2b＋10ab－2ab2的各项的公因式为2ab，
因式分解为原式＝2ab(2a＋5－b).
【例2】把下列各式因式分解：
(1)2x2－4x； (2)8m2n＋2mn；
(3)a2x2y－axy2； (4)3x3－3x2＋9x.
知识点2 提公因式法
解：(1)2x2－4x＝2x(x－2).
(2)8m2n＋2mn＝2mn(4m＋1).
(3)a2x2y－axy2＝axy(ax－y).
(4)3x3－3x2＋9x＝3x(x2－x＋3).
思路点拨：分别找出各个小题中每项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解即可.
2. 把下列各式因式分解：
(1)－24x2y－12xy2－28y3；
(2)－4a3b3＋6a2b－2ab；
(3)－2x2－12xy2＋8xy3；
(4)－3ma3＋6ma2－12ma.
解：(1)－24x2y－12xy2－28y3＝－4y(6x2＋3xy＋7y2).
(2)－4a3b3＋6a2b－2ab＝－2ab(2a2b2－3a＋1).
(3)－2x2－12xy2＋8xy3＝－2x(x＋6y2－4y3).
(4)－3ma3＋6ma2－12ma＝－3ma(a2－2a＋4).
【例3】已知x＋2y＋4＝0，xy＝3，求－6x2y－12xy2的值.
知识点3 创新题
解：由x＋2y＋4＝0，得x＋2y＝－4.
当x＋2y＝－4,xy＝3时，
－6x2y－12xy2＝－6xy(x＋2y)＝－6×3×(－4)＝72.
思路点拨：由x＋2y＋4＝0，可知x＋2y＝－4，然后将－6x2y－12xy2分解，最后再计算求值即可.
(2)原式＝ab(a＋b).
当ab＝7，a＋b＝6时，
原式＝7×6＝42.
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单元复习课
专题四 模 型 拓 展
因式分解的几何模型
【例】如图D4－4－1①所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
请你结合以上知识，解答下列问题：
(1)写出如图D4－4－1②所示的正方形所表示的数学等式_________________________________________________，并根据整式乘法的运算法则，通过计算验证此等式；
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
解：(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)
＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ca＋cb＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca,
∴此等式成立.
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝42，求代数式a2＋b2＋c2的值；
解：(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc,
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2ac＋2bc)
＝100－84＝16.
(3)小明同学用如图D4－4－1③中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼出一个面积为(3a＋4b)(9a＋5b)的长方形，求代数式x＋y＋z的值.
解：(3)∵(3a＋4b)(9a＋5b)＝27a2＋20b2＋36ab＋15ab＝27a2＋20b2＋51ab，
∴x＝27，y＝20，z＝51.
∴x＋y＋z＝27＋20＋51＝98.
【对应练习】
如图D4－4－2①,现有足够多的边长为a的小正方形纸片(A类)，长为b，宽为a的长方形纸片(B类)以及边长为b的大正方形纸片(C类). 如图D4－4－2②,小明利用上述三种纸片各若干张，拼出了一个长为(a＋2b)，宽为(a＋b)的长方形，并用这个长方形解释了等式(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2是成立的.
(1)若取如图D4－4－2①中的纸片若干张(三种都要取到)拼成一个长方形(所取纸片用完无剩余)，使它的长和宽分别为(2a＋b)，(a＋b)，请你通过计算说明需B类纸片多少张；(2)若取A类纸片2张，B类纸片5张，C类纸片2张，能拼成一个长方形吗(所取纸片用完无剩余)？请你在图D4－4－2③中画出示意图并写出能用该长方形来解释成立的等式.
解：(1)(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2,
∴3ab÷ab＝3.
答：需要B类纸片3张.
(2)∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2,
∴能拼成一个长为(2a＋b)，宽为(a＋2b)的矩形. 图略.
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第四章 因 式 分 解
第29课时 提公因式法(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
提取公因式是________________的逆运算，其最简形式为ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 其中m可代表____________.
乘法分配律
整式
把多项式m2(a－2)－m(a－2)因式分解，结果正确的是( )
A. (a－2)(m2－m) B. m(a－2)(m＋1)
C. m(a－2)(m－1) D. m(2－a)(m＋1)
C
课堂导练
【例1】在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立. (1)1－x＝____________(x－1);
(2)－a＋b＝____________(a－b);
(3)(a－b)2＝____________(b－a)2;
(4)(－x－y)2＝____________(x＋y)2.
思路点拨：(1) (2) 先观察括号内的各项的符号是否相同，然后再判断括号前面的符号；(3) (4) 根据偶次方的性质可知(a－b)2＝(b－a)2，(－x－y)2＝(x＋y)2，从而可判断出括号前面的符号.
知识点1 确定公因式的符号
－
－
＋
＋
1. 在横线上填入“＋”或“－”号，使等式成立.
(1)a－b＝____________(b－a)；
(2)a＋b＝____________(b＋a)；
(3)(a－b)2＝____________(b－a)2;
(4)(a＋b)2＝____________(b＋a)2；
(5)(a－b)3＝____________(b－a)3；
(6)(－a－b)3＝____________(b＋a)3.
－
＋
＋
＋
－
－
【例2】把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；
知识点2 公因式是多项式
解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y).
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1).
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2).
思路点拨：直接找出各式的公因式，进而提取公因式分解因式即可.
2. 把下列各式因式分解：
(1)a(m－2)＋b(2－m)；
(2)2(y－x)2＋3(x－y)；
(3)mn(m－n)－m(n－m)2.
解：(1)a(m－2)＋b(2－m)
＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b).
(2)2(y－x)2＋3(x－y)
＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)(2x－2y＋3).
(3)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m).
【例3】把下列各式因式分解：
（1）（x＋1）（x－1）－（1－x）2 ；
（2）2m（m－n）2－8m2（n－m）；
（3）（2x－y）（x＋3y）－（x＋y）（y－2x）．
解：（1）（x＋1）（x－1）－（1－x）2
＝（x＋1）（x－1）－（x－1）2
＝（x－1）[（x＋1）－（x－1）]
＝2（x－1）.
1. 如果sin2α+cos230°=1，那么锐角α的度数是（ ）
A．30° B．45°
（2）2m（m－n）2－8m2（n－m）
＝2m（m－n）[（m－n）＋4m]
＝2m（m－n）（5m－n）．
（3）（2x－y）（x＋3y）－（x＋y）（y－2x）
＝（2x－y）（x＋3y）＋（x＋y）（2x－y）
＝（2x－y）（x＋3y＋x＋y）＝（2x－y）（2x＋4y）
＝2（2x－y）（x＋2y）．
思路点拨：将原式适当变形(改变符号)后，提取公因式分解因式.
3. 把下列各式因式分解：
（1）3x2（x－y）＋6x（y－x）；
（2）（a－3）2－（2a－6）；
（3）（x－2y）（2x＋3y）－2（2y－x）（5x－y）．
解：（1）3x2（x－y）＋6x（y－x）
＝3x2（x－y）－6x（x－y）
＝3x（x－y）（x－2）.
（2）（a－3）2－（2a－6）
＝（a－3）2－2（a－3）
＝（a－3）（a－5）.
（3）（x－2y）（2x＋3y）－2（2y－x）（5x－y）
＝（x－2y）（2x＋3y）＋2（x－2y）（5x－y）
＝（x－2y）[2x＋3y＋2（5x－y）]
＝（x－2y）（2x＋3y＋10x－2y）
＝（x－2y）（12x＋y）．
【例4】先将代数式因式分解，再求值：
2x(a－2)－y(2－a)，其中a＝0.5，x＝1.5，y＝－2.
知识点3 创新题
解：原式＝2x(a－2)＋y(a－2)＝(a－2)(2x＋y).
当a＝0.5，x＝1.5，y＝－2时，
原式＝(0.5－2)×(3－2)＝－1.5.
思路点拨：原式变形后，提取公因式化为积的形式，将a，x以及y代入计算即可求出值.
4. 已知x－y＋z＝4，求x(x－y＋z)＋y(y－x－z)＋
z(z＋x－y)的值.
解：当x－y＋z＝4时，
原式＝x(x－y＋z)－y(x－y＋z)＋z(x－y＋z)
＝(x－y＋z)(x－y＋z)
＝4×4
＝16.
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单元复习课
专题二 中考重难点
一、提公因式法与公式法的综合运用
【例1】(2021兰州)因式分解：x3－4x2＋4x＝( )
A. x(x－2)2 B. x(x2－4x＋4)
C. 2x(x－2)2 D. x(x2－2x＋4)
A
【例2】分解因式：x2y2－16x2＝( )
A. x2（y2－16）
B. x2（y＋4）（y－4）
C. y2（x2－4）
D. y2（x＋4）（x－4）
B
【例3】因式分解：m2x3－4m2x2y＋4m2xy2．
解：m2x3－4m2x2y＋4m2xy2
＝m2x（x2－4xy＋4y2）
＝m2x（x－2y）2．
二、因式分解的应用
【例4】(2021十堰)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝____________.
【例5】（2021苏州）若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为____________.
36
3
【对接中考】
1. (2021贺州)多项式2x3－4x2＋2x因式分解为( )
A. 2x(x－1)2 B. 2x(x＋1) 2
C. x(2x－1) 2 D. x(2x＋1) 2
2. （2021内江）分解因式：3a3－27ab2＝
____________________________________．
A
3a（a＋3b）（a－3b）
3. （2019河池）分解因式：（x－1）2＋2（x－5）.
解：（x－1）2＋2（x－5）
＝x2－2x＋1＋2x－10
＝x2－9
＝（x＋3）（x－3）．
A
0
6. （2021大庆）先因式分解，再计算求值：2x3－8x，
其中x＝3．
解：2x3－8x
＝2x（x2－4）
＝2x（x＋2）（x－2）.
当x＝3时，
原式＝2×3×（3＋2）×（3－2）
＝2×3×5×1
＝30．
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第四章 因 式 分 解
第27课时 因 式 分 解
目录
01
思维导图
02
名师导学
03
课堂导练
本章知识梳理
名师导学
把一个多项式化成几个整式的____________的形式，这种变形叫做因式分解.
积
D
课堂导练
【例1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？(1)a(x＋y)＝ax＋ay；
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；
(3)y2－4y＋4＝(y－2)2；
(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t.
知识点1 因式分解的概念
解：(1)a(x＋y)＝ax＋ay 是整式的乘法，故不是因式分解.
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解.
(3)y2－4y＋4＝(y－2)2 把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解.
(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故不是因式分解.
思路点拨：因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式. 因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定.
1. 下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？
(1)ax＋bx＋cx＋m＝(a＋b＋c)x＋m；
(2)mx2－2mx＋m＝m(x－1)2；
(3)4a－2a(b＋c)＝4a－2ab－2ac；
(4)(x－3)(x＋3)＝(x＋3)(x－3)；
(5)x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；
(6)(x－2)(x＋2)＝x2－4.
解：(1)ax＋bx＋cx＋m＝(a＋b＋c)x＋m，两者都不是.
(2)mx2－2mx＋m＝m(x－1)2，是因式分解.
(3)4a－2a(b＋c)＝4a－2ab－2ac，两者都不是.
(4)(x－3)(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，两者都不是.
(5)x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1，两者都不是.
(6)(x－2)(x＋2)＝x2－4，是整式乘法.
【例2】观察如图4－27－1所示拼图过程，写出相应的关系式.
知识点2 因式分解的几何表示
解：(1)am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c).
(2)x2＋x＋x＋1＝
(x＋1)2.
思路点拨：根据图形前后的面积相等可得答案.
2. 将如图4－27－2所示四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解.
解：拼接如答图4－27－1.
长方形的面积为x2＋x＋2x＋2＝x2＋3x＋2，还可以表示为(x＋2)(x＋1)，
∴我们得到了可以进行因式分解的公式：
x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1).
【例3】1 9992＋1 999能被1 999整除吗？能被2 000整除吗？
知识点3 因式分解的简便计算
解：1 9992＋1 999＝1 999×(1 999＋1)＝1 999×2 000，
因为1 999×2 000÷1 999＝2 000，
所以1 9992＋1 999能被1 999整除.
因为1 999×2 000÷2 000＝1 999，
所以1 9992＋1 999能被2 000整除.
思路点拨：根据乘法分配律，1 9992＋1 999可化为1 999×(1 999＋1)＝1 999×2 000，再分别除以1 999和2 000，即可得出答案.
3. 利用因式分解说明：367－612能被70整除.
解：367－612
＝614－612
＝612×(36－1)
＝35×612
＝35×6×611
＝70×3×611.
∴367－612能被70整除.
【例4】已知关于x的二次三项式x2＋mx＋10有一个因式x＋5，求另一个因式和m的值.
知识点4 创新题
思路点拨：设另一个因式为x＋a，将x＋a与x＋5相乘，展开比较系数得出二元一次方程组，解方程组求出相关字母的值即可.
4. 已知三项式mx2＋5xy－2y2有一个因式是3x－y，求m的值并将这个二次三项式分解因式.
解：设另一个因式是bx＋2y，
则(3x－y)(bx＋2y)＝3bx2＋(6－b)xy－2y2＝mx2＋5xy－2y2.
∴6－b＝5，m＝3b.
∴b＝1，m＝3.
∴3x2＋5xy－2y2＝(3x－y)(x＋2y).
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第四章 因 式 分 解
第30课时 公式法(一)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
平方差公式：
a2－b2＝________________________.
(a＋b)(a－b)
下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( )
A. x2－y2 B. －x2－y2
C. 4x2－y2 D. －4＋x2
B
课堂导练
知识点1 用平方差公式因式分解(1)
解：(1)a2－81＝(a＋9)(a－9).
解：(2)36－x2＝(6－x)(6＋x).
(3)1－16b2＝(1－4b)(1＋4b).
(4)m2－9n2＝(m＋3n)(m－3n).
(5)0.25q2－121p2＝(0.5q－11p)(0.5q＋11p).
(6)169x2－4y2＝(13x＋2y)(13x－2y).
(7)9a2p2－b2q2＝(3ap＋bq)(3ap－bq).
思路点拨：直接利用利用平方差公式分解因式即可.
1. 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由.
(1)4x2＋y2；
(2)4x2－(－y)2；
(3)－4x2－y2；
(4)－4x＋y2；
(5)a2－4；
(6)a2＋3.
解：(1)4x2＋y2不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反.
(2)4x2－(－y)2＝4x2－y2＝
(2x＋y)(2x－y)，可以用平方差公式分解因式.
解：(3)－4x2－y2不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反.
(4)－4x＋y2不可以用平方差公式分解因式，因为4x不是平方项.
(5)a2－4＝(a＋2)(a－2)可以用平方差公式分解因式.
(6)a2＋3不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反.
【例2】把下列各式因式分解：
(1)(m＋n)2－n2；
(2)49(a－b)2－16(a＋b)2；
(3)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(4)(x2＋y2)2－x2y2；
(5)p4－1.
知识点2 用平方差公式因式分解(2)
解：(1)(m＋n)2－n2
＝(m＋n－n)(m＋n＋n)
＝m(m＋2n).
解：(2)49(a－b)2－16(a＋b)2
＝[7(a－b)－4(a＋b)][7(a－b)＋4(a＋b)]
＝(3a－11b)(11a－3b).
(3)(2x＋y)2－(x＋2y)2
＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)
＝3(x＋y)(x－y).
(4)(x2＋y2)2－x2y2
＝(x2＋y2－xy)(x2＋y2＋xy).
(5)p4－1＝(p2＋1)(p2－1)
＝(p2＋1)(p－1)(p＋1).
思路点拨：(1)～(4)直接利用平方差公式分解因式，得出答案；(5)连续两次利用平方差公式分解因式，得出答案.
2. 把下列各式因式分解：
(1)(a＋b)2－(m＋n)2；
(2)4(a＋b)2－9(a－b)2；
(3)(2x－y)2－(x－2y)2；
(4)49m2－4(2m＋n)2.
(5)1－81x4.
解：(1)(a＋b)2－(m＋n)2
＝[(a＋b)＋(m＋n)][(a＋b)－(m＋n)]
＝(a＋b＋m＋n)(a＋b－m－n).
解：(2)4(a＋b)2－9(a－b)2
＝[2(a＋b)＋3(a－b)][2(a＋b)－3(a－b)]
＝(5a－b)(5b－a).
(3)(2x－y)2－(x－2y)2
＝[(2x－y)＋(x－2y)][(2x－y)－(x－2y)]
＝(3x－3y)(x＋y)
＝3(x－y)(x＋y).
解：(4)49m2－4(2m＋n)2
＝[7m＋2(2m＋n)][7m－2(2m＋n)]
＝(11m＋2n)(3m－2n).
(5)1－81x4
＝(1＋9x2)(1－9x2)
＝(1＋9x2)(1＋3x)(1－3x).
知识点3 创新题
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单元复习课
专题一 本章易错点例析
易错考点
一、提公因式中的错误1. 负号处理
【例1】分解因式：－10x3－35x2＋15x.
【错解】原式＝－5x(2x2－7x＋3).
【错解分析】多项式的首项带有负号时，在解题时可先提取负号，使括号内第一项系数为正，其余项相应变化，再提公因式.
【正解】原式＝－(10x3＋35x2－15x)
＝－5x(2x2＋7x－3).
过关巩固
1. (2021朝阳)因式分解：
－3am2＋12an2＝________________________.
－3a(m＋2n)(m－2n)
易错考点
2. 忘提公因式
【例2】分解因式：x4－x2.
【错解】原式＝(x2＋x)(x2－x).
【错解分析】如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式，但这里没有先提公因式x2，导致原式分解后括号里仍有公因式.
【正解】原式＝x2(x2－1)＝x2(x＋1)(x－1).
过关巩固
2. 分解因式：x2－x2y2＝____________________.
x2(1－y)(1＋y)
易错考点
3. 漏提系数
【例3】分解因式：3a2bc3－12abc2＋9abc.
【错解】原式＝abc(3ac2－12c＋9).
【错解分析】系数也是因式，分解时要提取各项系数的最大公因数.
【正解】原式＝3abc(ac2－4c＋3).
过关巩固
3. 把6a2b－3ab因式分解为___________________.
3ab(2a－1)
易错考点
4. 提后丢项
【例4】分解因式：3x2y＋6x3y2＋3xy.
【错解】原式＝3xy(x＋2x2y).
【错解分析】提公因式时易犯提后丢项的错误，认为把3xy提出来后，该项就不存在了，实际应为3xy÷3xy＝1.
【正解】原式＝3xy(x＋2x2y＋1).
过关巩固
4. 分解因式：
－4x2y＋6xy2－2xy＝________________________.
－2xy(2x－3y＋1)
二、运用公式中的错误
1. 公式中字母的含义理解不透，错用公式
【例5】分解因式：9x2－4y2.
【错解】原式＝(9x＋4y)(9x－4y).
【错解分析】对平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中a，b未理解其含义. 公式中的a，b应分别为3x和2y.
【正解】原式＝(3x＋2y)(3x－2y).
易错考点
过关巩固
2. 公式特点分辨不清，乱用公式
【例6】分解因式：－3ma3＋6ma2－12ma.
【错解】原式＝－3ma(a2－2a＋4)＝－3ma(a－2)2.
【错解分析】对完全平方公式的特点认识不足，以致把 a2－2a＋4误认为是完全平方式.
【正解】原式＝－3ma(a2－2a＋4).
易错考点
过关巩固
6. 分解因式：
2ax2＋4axy＋8ay2＝_____________________________.
2a(x2＋2xy＋4y2)
3. 思维定式，不会用整体思想运用公式
【例7】分解因式：(m＋n)2－4(m＋n)＋4.
【错解】原式＝(m＋n)(m＋n－4)＋4.
【错解分析】公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式. 要避免把公式中的字母看成一个数的局限性.
【正解】原式＝(m＋n－2)2.
易错考点
过关巩固
三、分解不彻底分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止.
【例8】分解因式：(m2＋1)2－4m2.
【错解】原式＝(m2＋1＋2m)(m2＋1－2m).
【错解分析】分解出来的因式，没有继续分解彻底.
【正解】原式＝(m2＋1＋2m)(m2＋1－2m)
＝(m＋1)2(m－1)2.
易错考点
过关巩固
8. 分解因式：
a4－16＝_______________________________.
(a＋2)(a－2)(a2＋4)
谢 谢
