冀教版数学七年级下册 第八章 读一读 杨辉三角教案

杨辉三角教学设计
教学目标：
【知识与技能】：
（1）探究二项式系数与杨辉三角的关系；
（2）了解杨辉及杨辉三角；
（3）初步认识杨辉三角中行列数字的特点及规律，以及杨辉三角在现实生活中的应用。
【过程与方法】：
（1）通过复习多项式乘以多项式法则以及完全平方公式，使学生利用已有知识探究新知识；
（2）培养学生自主探究能力，发现问题，分析问题的能力以及归纳概括能力；
【情感与态度】：
（1）培养学生善于探究和交流的团队合作意识；
（2）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
教学重点：
引导学生利用多项式乘以多项式探究二项式系数与杨辉三角的关系，培养学生自主学习能力。
教学难点：
杨辉三角规律的探究
教学过程：
一、温故知新
1、多项式乘以多项式法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2、完全平方公式：
二、活动一
（一）小组活动：利用多项式乘以多项式法则，探究：
1、？
2、=？
3、？
4、？
5、？
6、？
（二）规律总结：
1、在展开式中，a是按其幂指数由高到底排列的，b是按其幂指数由低到高排列的；首项a的次数与末项b的次数相同，都等于二项式乘方的次数；展开式中的项数比二项式乘方的次数多1.
2、观察二项式展开式中各项系数与杨辉三角的关系：
杨辉三角：
1
　　　　 1 1
　　　 1 2 1
　　　 1 3 3 1
　　　 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
　 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
………………………………
3、猜想？
三、看历史：
1、这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
2、杨辉：中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有《日用算法》 《杨辉算法》等。
3、“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.
四、活动二：
1、小组合作：在杨辉三角中你发现了哪些规律？
2、杨辉三角的基本性质：
（1）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加
（2）杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等
（3）每一行的第二个数就是这行的行数
（4）所有行的第二个数构成等差数列
（5）第n行包含n+1个数
3、引导探究：
（1）斜行1-3行的数有什么特点？
（2）横行与数字11的幂的关系？
（3）横行与数字2的幂的关系？
（4）第2k行的数字特征？
（5）第行的数字特征？
（6）行数整除所有的数？
五、杨辉三角在现实生活中的应用：
1、杨辉三角在弹球游戏中的应用：
弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D 区奖品最差）。
2、杨辉三角在路线图中的应用：
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系 ．
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)．
一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系（如图所示）
六、课堂小结：
杨辉三角又称为贾宪三角形，在国外被称为帕斯卡三角.杨辉三角形还有许多奇妙的性质，留给有兴趣的同学继续探索吧！