中考复习专题（二）：整式运算（课标解读+考点精讲+名师押题）

中考复习专题（二）：整式运算
课标解读
能解释一些简单代数式的实际背景及几何意义．
会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）．
会推导乘法公式：；，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算．
会用提公因式、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）．
考点精讲
考点一：与整式概念有关的题目：单项式、多项式、同类项等整式概念，多以选择题或填空题的形式出现．
例1．（2007深圳）若单项式与是同类项，则的值是　　　　　．
分析：要从两个方面去掌握同类项的要求：一是所含字母相同，另一个是相同字母的指数要相同，据此可得m=3，n=2，所以m+n=5.
答案：5.
考点二：整式运算：主要包括整式的加减乘除运算和乘方（幂的运算），尤其是整式乘法公式的准确运用．
例2．（2010深圳）下列运算正确的是
A．(x－y)2＝x2－y2 B．x2·y2 ＝(xy)4 C．x2y＋xy2 ＝x3y3 D．x6÷y2 ＝x4
分析：本题考察整式运算的基础知识．答案A，把完全平方公式和平方差公式弄混淆了；答案B是逆向运用积的乘方，结果应该等于(xy)2；答案C： x2y和xy2不是同类项，不能合并；答案D，根据同底数幂相除的法则，底数不变，指数相减，所以是正确的．
答案：D．
例3．（2010年广州中考数学模拟试题(四)）先化简，再求值:
，其中，.
分析：这类问题往往将整式运算与求代数式的值相结合，要求首先必须要化简，考生往往会直接把数值直接代入进行计算，浪费了时间，还会被扣分，所以考试要看清题目要求；第二是化简过程中公式运用的准确性．
答案：原式=a2-4b2-b2
=a2-5b2
=2-5
=-3
考点三：因式分解：要求会用提公因式法、公式法（直接运用公式不超过两次）进行因式分解（指数要求是整数）．
例4．（2011浙江金华）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2 +1 B.x2+2x－1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
分析：完全平方公式是=和=，据此判断符合条件的只有答案D．
【答案】D
例5．（2008深圳）分解因式： ．
分析：因式分解分两步进行，首先看是否有公因式，有公因式要先提取公因式，再看是否能运用公式进一步分解；如果没有就考虑直接运用公式发进行因式分解．本题中就存在公因式a，所以要先提取公因式．
答案：
例6．（2009深圳）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m= ．
分析：本题是一道涉及到整式运算、代数式求值和因式分解的综合型题目，具有一定的创新性．考查学生综合运用知识解决问题的能力．
答案：根据题目有m2+（-2m）-1=2，所以m2+（-2m）+1=0，即（m-1）2=0，所以m=1
中考真题解析
例1．（2008深圳市）下列运算正确的是
Ａ． Ｂ．　　 Ｃ．　　　Ｄ．÷
分析：本题考察整式运算的基础知识．答案A，a2与a3不是同类项，不能加减；答案B，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知此答案正确；答案C： “幂的乘方，底数不变，指数相乘”所以正确结果应该是，不能合并；答案D，根据同底数幂相除的法则，底数不变，指数相减，所以正确结果是÷．
答案：B．
例2．（2008深圳市）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为
0 1 2 3 …
1 3 5 7 …
2 5 8 11 …
3 7 11 15 …
… … … … …
11
14
A
11 13
17 b
表一 表二 表三
分析：本题首先要根据提供的表一发现规律，确定a，b的值，再代入代数式a+b中求出结果．
答案：根据表一可以确定a=11，b=20，所以a+b=31
例3．（2007深圳市）若，则的值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析：是常见的非负数类问题，由此可得a=2，b=-3，再代入中不难求出结果．
答案：由可得，a-2=0，b+3=0，所以 a=2，b=-3，所以
=
例4．（2005深圳市）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-的结果是
A、2a-b B、b C、-b D、-2a+b
分析：本题是一道数形结合的题目，要求结合数轴判断a、b的正负，再来去绝对值、开方化简．
答案：由数轴得b＜0＜ a、所以a-b＞0，=a，所以|a-b|-=a-b+a=2a-b，故选答案A．
例5．（2010深圳市）分解因式：4x2－4＝_______________．
（2007深圳市）分解因式：=　　　　　．
分析：因式分解要注意两点：首先看是否有公因式，有公因式要先提取公因式，再看是否能运用公式进一步分解；其次因式分解的结果要求分解到不能再分解．
答案：4x2－4＝；
=
例6．（2009深圳市）用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是（ ）
A.(a+2)2-1 B. (a+2)2-5
C. (a+2)2+4 D. (a+2)2-9
分析：本题配方就是配完全平方式．本题中a2+4a的部分只需要再加上4就可以配成完全平方，要注意加4后为保证是同解变形，后面还要减去4
答案：a2+4a-5=
专家押题
一、选择题
1．某工厂一月份产值为a万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为( )
A、(a+1)·5%万元 B、5%a万元 C、(1+5%)a万元 D、(1+5%)2a万元
分析：本题是一个增长率的实际应用问题，二月份是在一月份的基础上增加5％，所以是a+5%a=(1+5%)a万元.故选C.
答案：选C.
2．（2004深圳市）下列等式正确的是
A、(-x2)3= -x5 B、x8÷x4=x2 C、x3+x3=2x3 D、(xy)3=xy3
分析：本题考查整式运算的基础知识．
答案：C．
3．（2011湖南益阳）下列计算正确的是
Ａ． B． C． D．
分析：本题考查整式公式的正确使用．对平方差公式()和完全平方公式()要准确理解和记忆．
答案：D．
4．（2011江苏连云港）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
分析：根据完全平方差公式不难得出正确答案为D．
答案：D
5.（2011山东济宁）把代数式 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
分析：因式分解的一般步骤：先提取公因式，再按照公式法进行分解．所以有：
答案：D．
6．（2011湖北荆州）将代数式化成的形式为
A．　B．　　C．　　D．　　
分析：中，加上4可以构成完全平方式，故．
答案：C
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A、(a+b)2=a2+2ab+b2 B、(a-b)2=a2-2ab+b2
C、a2-b2=(a+b)(a-b) D、(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
分析：本题考查用不同形式的代数式来表示同一部分的面积，图甲中的阴影部分面积可用大正方形面积减去小正方形面积，于是可得S阴影=a2-b2，而图乙中阴影部分的面积可以直接利用矩形的面积公式长乘宽得到，于是可得S阴影=(a+b)(a-b)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以得到答案C是正确的.
答案：C.
8.(2010·日照中考)由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得：(a+b)(a2－ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3． ①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.
下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A．(x+4y)(x2－4xy+16y2)=x3+64y3
B．(2x+y)(4x2－2xy+y2)=8x3+y3
C．(a+1)(a2＋a+1)=a3+1
D．x3+27=(x+3)(x2－3x+9)
分析：本题考查学生阅读理解和自学能力，正确应为(a+1)(a2－a+1)=a3+1.
答案：C．
二、填空题(每小题6分，共24分)
9.（2011广东湛江17,4分）多项式是 次 项式．
分析：本题考查多项式的有关概念
答案：二，三
10．（2011江苏泰州）多项式 与m2＋m－2的和是m2－2m．
分析：（m2－2m）-（m2＋m－2）=－3m+2
答案：－3m+2
11．xa=4,xb=3,则xa-2b=_____.
分析：xa-2b=xa÷x2b=xa÷(xb)2=4÷32=.
答案：
12.(2010山东)已知16x2－2(m－1)xy＋49y2是一个完全平方式，则m=_____．
分析：本题考查的是完全平方式.
根据完全平方式的构成特征-2(m-1)=2×4×7或-2(m-1)=-2×4×7,
因此m＝-27或m＝29;
或者利用b2-4ac=0,即［－2(m－1)］2-4×16×49=0,也可得m＝29或m＝－27.
答案：29或－277.
13．（2011广东东莞）按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是__ _ ．
分析：把x=3代入计算即可．
答案：26
14．（2011湖南衡阳）若，，则的值为 ．
分析：本题考查因式分解和整体代入，=．
答案： 10
15．（2011浙江省）定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b=ab+b,当a分析：定义新运算要求首先要弄清楚新计算的规则，本题同时考查了分类讨论的思想．
分两种情况：若2x-1≥x+2时，按照a b=ab+b，
(2x-1) (x+2)= ，所以x=-2或x=0
又2x-1≥x+2，所以x≥3，所以此时无解
若2x-1＜x+2时，按照a b=ab-a，
(2x-1) (x+2)= ，所以x=或x=-1
又2x-1＜x+2，所以x＜3，所以此时x=或x=-1均成立
答案：-1或
三、解答题
16．已知a , b为常数，且三个单项式4xy2，axyb，-5xy中有2个相加得到的和仍然是单项式．那么a和b的值可能是多少？说明你的理由.
分析：情况1.若axyb与－5xy为同类项，∴b=1
∵axyb+（－5xy）=0 ∴a=5，∴ ;
2. 若 5xy2与axyb为同类项， ∴b=2.
∵axyb+4xy2=0 ，∴a=－5，∴ ;
答案：或
17．(2011浙江绍兴)先化简，再求值：，其中.
分析：原式当时，原式=0.
答案：0.
18．（2011广东广州市） 分解因式8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy．
分析：按照分解因式步骤进行8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy
=8x2－16y2－7x2－xy＋xy
=x2－16y2
=(x＋4y)(x－4y)
答案：(x＋4y)(x－4y)
19．（2011江苏宿迁）已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．
分析：本题考查因式分解和整体代入．
当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2．
答案：2．
20.若a2-2a-1=0，求代数式a4+ 的值.
分析：由a2-2a-1=0可知a≠0，
∴a-2-=0,即a-=2.
两边平方,得a2-2+=4,
∴a2+=6.
两边再平方,得a4+2+=36,
∴a4+=34.
答案：34．
21．（2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；
（3）求第n行各数之和．
分析：本题要求学生通过观察发现规律，并能用代数式来表示所发现的规律．
答案：（1）64，8，15；
（2），，；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
b
O
a