中考复习专题（三）：分式与分式方程（课标解读+考点精讲+名师押题）

中考复习专题（三）：分式与分式方程
课标解读
了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．
会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）
考点精讲：
考点一：分式的概念．
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式．其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．其中，分母不能为0.
例1．（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( )
A. B. C. D.
分析：判断是否为分式要注意两点：①基本形式为；②分子和分母都是整式且分母中含有字母．
答案：B．
例2．（2011浙江省舟山）当　 　时，分式有意义．
分析：根据分式的定义，分母不能为0， ．
答案：
例3．（2011福建泉州，14，4分）当= 时，分式的值为零.
分析：分式值为0的条件：
1．分子等于0；
2．分母不等于0.
答案：由题有：，所以，所以x=2．
考点二：分式的基本性质．
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．基本性质：=（m≠0）
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．符号法则：
例4．（2011江苏盐城）化简： = ．
分析：，根据分式的性质，分子分母同时除以x-3即得正确答案．
答案：x+3
考点三：分式运算．
分式乘法：，分式除法：，分式乘方 ，（n为正整数）
同分母分式相加： 异分母分式相加：
例5．（2006深圳）化简： ．
分析：本题同时含有分式的化简和运算，注意异分母分式相加减要先通分，再加减
答案：
例6．（2005深圳）先化简，再求值：（）÷，其中x=2005
分析：本题要求先化简，再求值，是深圳中考题中考查分式部分的常见题型．
答案：原式=·==
考点四：分式方程．
例7．（2011深圳）解分式方程：．
分析：解分式方程的一般思路是通过去分母把分式方程转化为整式方程，体现了一种转化的数学思想．要注意的是，去分母的过程并不是同解变形，容易产生增根，所以解分式方程一定要注意检验．
答案：方程两边同时乘以：(x＋1)(x－1)，得：
2x (x－1)＋3(x＋1)＝2(x＋1)(x－1)
整理化简，得
x＝－5
经检验，x＝－5是原方程的根
原方程的解为：
x＝－5
例8．（2007深圳）两地相距公里，甲工程队要在两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设公里，甲工程队提前周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？
分析：列方程解应用题是考查分式方程的一种重要方式，列分式方程有时能更为直接的体现出题目条件中给出的量与量之间的相等关系．
答案：设甲工程队每周铺设管道公里,则乙工程队每周铺设管道()公里
根据题意, 得
解得，经检验，都是原方程的根
但不符合题意,舍去
∴
所以甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里．
中考真题解析：
1．（2003深圳）先化简再求值：，其中x=，y=
分析：本题考查分式化简求值
答案：
所以：当x=，y=时，原式==
2．（1）（2010深圳）先化简分式÷－，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
（2）（2008深圳）先化简代数式÷，然后选取一个合适的a值，代入求值．
分析：这两题除了要求对原分式进行化简以外，本身还是一道开放型题目，要求学生化简后自己选择合适的a值，要注意的是选取的a要使得原来的代数式有意义，所以（1）中a不能等于0，1，3，（2）中a不能等于2和-2．
答案：（1）化简结果为2a；当a=2时，结果为4；
（2）化简结果为；然后任意选取一个除了2或者-2以外的数值带入求出结果即是．
3．（002 深圳）解方程：
分析：解分式方程的一般步骤是先转化为整式方程．本题按这种方法来解的话，会变形为二次方程，所以可以考虑特殊解法．题目中，和互为倒数关系，因此可以考虑采取换元法．
答案：设=y，则=，原方程变形为：
解得
当时，，解得x=1；
当时，，解得x=-2
经检验，x1=1，x2=﹣2原方程的根．
∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
4．（2009深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式.
解：∵，
∴.
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1） （2）
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
问题：求分式不等式的解集.
分析：本题是一道阅读理解题，因其能较好的考察学生阅读理解的能力、自学知识的能力和学生的知识迁移的能力，近年来在全国各地多有出现．其特点一般是要求学生在阅读理解给出材料的基础上解决新的问题．譬如本题给出的材料其实是一个二次不等式的解法，通过阅读材料我们应该理解到，解二次不等式是根据 “两数相乘，同号得正”的乘法法则转化为一次不等式组来解决，那么分式不等式可以类比二次不等式的这一解法进行．
答案：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有
（1） （2）
解不等式组（1），得，解不等式组（2），得无解，
故分式不等式的解集为.
5．（2005深圳）某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成．
（1）（5分）求乙工程队单独做需要多少天完成？
（2）（4分）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x<15，y<70，求x、y.
分析：本题要求列方程解应用题．如果列出的方程是分式方程，要注意解的合理性和验根．
答案：（1）设乙工程队单独做需要x天完成．
则30×+20()=1，解之得：x=100
经检验得x=100是所列方程的解，所以求乙工程队单独做需要100天完成．
（2）甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天
所以，即：y=100 -，又x<15，y<70
所以，解之得：12又y也为正整数，所以x=14，y=65
注：本题第二问要求根据x和y的特殊范围解二元一次不定方程．
专家押题：
一 ．选择题．
1. 在中，分式的个数是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
分析：本题考查分式的概念，根据分式的定义不难得出答案．注意，分母B中必须含有字母，要注意是具有特殊意义的常数．
答案：A．
2 分式的最简公分母是（ ）
A 72xyz2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz2
分析：最简公分母指各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，据此判断答案应该为A．
答案：A．
3． 如果把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍
分析：本题可以直接推导也可以采取特值方法．譬如，设,代入结果为2；x,y都扩大3倍后为，代入计算结果为
答案：B．
4．（2011四川南充市）分式的值为0时，x的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）－2
分析：分式为0要求有两点，一是分子等于0，第二分母不能等于0.由得，由得，所以
答案：B．
【答案】B
5．在函数中，自变量x的取值范围是（　 　）
A． B． C．≤ D．≥
分析：这里自变量x的取值范围其实就是使分式有意义的x的取值范围，分式有意义的条件是分母不能为0，所以x-2≠0，所以
答案：B
6.计算的结果是（ ）
A 1 B x+1 C D
分析：分式化简要注意分式性质的运用和符号．
答案：，所以选C．
7．已知分式, 当取时, 该分式的值为0; 当取时, 分式无意义; 则的值等于（ ）
A. B. C. D.
分析：要使分式值为0，则a=-1，要使分是无意义，则b=2，代入中求值即可．要注意负指数幂的意义：．
答案：B
8.把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 c．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
分析：分式方程去分母要注意等式两边的每一项都要乘以最简公分母．
答案：D．
9 若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
分析：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根．解原方程得x=a，所以要使原方程有增根，则a=2
答案：D．
10 若的值是（ ）
A -2 B 2 C 3 D -3
分析：由得，所以
答案：A.
11． 已知 ，则直线y=kx+2k一定经过（ ）
A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限
分析：本题有两种可能．1、若，则k=-1，此时y=-x-2，图像经过二、三、四象限；2、若，则k=，此时y=x+1，图像经过一、二、三象限．综合以上可得正确答案为B．
答案：B.
12．（2010深圳）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为
A．＝＋12 B．＝－12
C．＝－12 D．＝＋12
分析：列分式方程解应用题是列方程解应用题的一种，列分式方程有时能更为直接的体现出题目条件中给出的量与量之间的相等关系．
由题意：B型包装箱每个可以装x件文具，则A型包装箱每个可以装（x-15），根据件文具“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个”可列方程
＝－12 ，所以应该选B．
答案：B．
二 填空
13．（2011浙江省舟山）当　 　时，分式有意义．
分析：根据分式有意义的条件有3-x≠0．
答案：
14．（2011山东聊城）化简：＝__________________．
分析：=
答案： ．
15.（2011四川内江）如果分式的值为0，则x的值应为 ．
分析：由题意得，所以．
答案：－3．
16．方程的解是
分析：去分母原方程变形为2+1-x=0，解得x=3，检验，x=3时，x-4≠0
答案：x=3.
17. 若=
分析：由得，，代入得．
答案：．
18. 一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是
第n个式子是
分析：观察分式的分母（指数）、分子（指数）、符号的变化规律可得出一般式为．
答案：，
三 解答题：
1. 化简：(1)（2011浙江衢州）.
分析：注意分式的加减法与分数加减法的对比：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
答案：原式
（2）（2011江苏扬州）
分析：注意运算顺序，分式中，分子分母能因式分解的先因式分解．
答案：原式===
2. 解答下列各题
1 已知 的值
分析：本题考查了分式运算中的整体代入，由得，代入后面分式中求值．
答案：由得，所以．
2 （2011湖南邵阳）已知，求的值．
分析：本题考查求代数式的值，其中x的值没有直接给出，要根据分式方程求出．
答案：∵，∴x-1=1.故原式=2+1=3
3.化简求值：
（1）（2011深圳市模四）先化简，再请你用喜爱的数代入求值
（2）先化简代数式，然后在取一组m,n的值代入求值．
分析：本题考查化简求值，要注意选取的代入数值应使原分式有意义．
答案：（1）原式＝＝ｘ＋2－＝
当ｘ＝6时，原式＝(选取的x不能为0,2，﹣2)
（2）原式＝
＝
＝
当时，原式＝3（注意由题，且mn≠0）
4．解方程
（1）．（2006深圳）解方程：
（2）．解方程：
分析：本题考查解分式方程．
答案：（1）去分母:　　　　　　　
化简得:　　　　　　　　　　　　　
经检验，是原方程的解．
（2）去分母,得
5. 在某次抗核泄漏事故中，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某公司主动承担了生产
2万套防辐射衣服的任务，计划10天完成，在生产2天后，根据需要公司须提前完成任务，
于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工
作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工
人生产防辐射衣服？
分析：本题考查分式方程解应用题．
答案：设公司原计划安排x名工人生产防核辐射衣服,则每个工人每天生产件，由题意得
解得
经检验是方程的解，也符合题意．
答：公司原计划安排750名工人生产防核辐射衣服 ．