新人教版高中数学必修第二册 第六章 6.2.2　向量的减法运算 学案 （含答案）

6.2.2　向量的减法运算
学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
知识点一　相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二　向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
思考　若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？
答案　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
1.相反向量就是方向相反的向量.(　×　)
提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.
2.向量与是相反向量.(　√　)
提示　与大小相等、方向相反.
3.a－b＝b－a.(　×　)
提示　向量减法不满足交换律.
4.两个相等向量之差等于0.(　×　)
提示　两个相等向量之差等于0.
一、向量的减法运算
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
　　　
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a.
解　方法一　以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
方法二　作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
二、向量减法法则的应用
例2　(1)化简：(－)＋(－)＝________.
答案　
解析　原式＝＋＋－＝＋－＝.
(2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)
A.0 B.
C. D.
答案　A
解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.
反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
跟踪训练2　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案　a＋c－b
解析　由已知＝，
则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
答案　D
解析　＝－＝a－b.
2.化简－＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案　A
解析　由－＝－，可得＝，
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
4.下列等式成立的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　B
解析　由题意知，①③④⑤成立.
5.(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.－
答案　AD
解析　由题意知，AD正确.
1.知识清单：
(1)向量的减法运算.
(2)向量减法的几何意义.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.
1.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a
答案　B
解析　由向量的加法、减法法则，
得＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
2.－－＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
3.下列各式中，恒成立的是(　　)
A.＝ B.a－a＝0
C.－＝ D.－＋＝0
答案　D
解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0.
4.(多选)下列四个式子中可以化简为的是(　　)
A.＋－ B.－
C.＋ D.－
答案　AD
5.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
答案　A
解析　＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
6.－－－＝________.
答案　
解析　－－－＝(－)－(＋)
＝－0＝.
7.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案　2
解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
8.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________.
答案　
解析　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|
＝||＝.
9.如图，已知a，b，求作a－b.
解　如图，即为所求作的a－b.
10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求：|a－b＋c|.
解　作＝，连接CF(图略)，则＋＝，
而＝－＝－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
11.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
答案　C
解析　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
12.平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则(　　)
A.A，B，C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案　C
解析　如图所示，作 ABCD，
则＋＝，
－＝－＝.
∵|m|＝|n|，∴||＝||.
∴ ABCD为矩形，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.
13.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
答案　13
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，∴|a－b|＝||＝13.
14.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c.证明：b＋c－a＝.
证明　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＋＝.
15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
答案　2
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，
∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
16.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.