2.4平面向量数量积
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课件25张PPT。平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向
量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反； 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
OBAθ向量的夹角 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。定
义 |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。思考：a·b=|a| |b| cosθ当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。重要性质:特别地解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2a·b的几何意义：θO投影OθO练习：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．7．对任意向量 a 有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：注： 则
(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.P116 例4例4 小结：1.
2.可用来求向量的模3.投影作业：4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
cosθ=
量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反； 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
OBAθ向量的夹角 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。定
义 |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。思考：a·b=|a| |b| cosθ当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。重要性质:特别地解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2a·b的几何意义：θO投影OθO练习：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．7．对任意向量 a 有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：注： 则
(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.P116 例4例4 小结：1.
2.可用来求向量的模3.投影作业：4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
cosθ=