第2课时 等差数列的前n项和(二)
题型一 等差数列前n项和公式的实际应用
例1 一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，则这支车队当天一共行驶了多少路程？
方法归纳
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
跟踪训练1 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，若使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则此最小值为________米．
题型二 利用Sn求an
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－8n＋10，求通项公式an，并判断数列是否为等差数列；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝－1，求其通项公式an.
方法归纳
利用Sn求an的方法
已知数列{an}的前n项和求通项公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须注意它成立的条件是n≥2，除此之外还要注意以下几点：
(1)求a1时不能使用an＝Sn－Sn－1，因为S0在数列前n项和中无意义，而应该是a1＝S1;
(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若恰好a1＝S1，则an＝Sn－Sn－1就是其通项公式；
(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若a1≠S1，则数列的通项公式就用分段的形式来表示，
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求该数列的通项公式．
题型三 利用an与Sn的关系求解数列问题
例3 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2.
(1)求证：{an}为等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
方法归纳
在给出数列的an与Sn的关系式时，可根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)将关系式中的Sn(或an)消去，从而求得an与an－1(或Sn与Sn－1)的关系，然后借助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[课堂十分钟]
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．49 D．64
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则其通项公式为( )
A．an＝2n B．an＝2n－1
C．an＝2n＋1 D．an＝2n－1－1
3．据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )
A．10分钟 B．13分钟
C．15分钟 D．20分钟
4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1(n∈N＋)．求{an}的通项公式．
第2课时 等差数列的前n项和(二)
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)因为a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550 (min)＝ h，所以这支车队当天一共行驶的路程为×60＝2 550 (km)．
跟踪训练1 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000米．
答案：2 000
题型二
例2 解析：(1)当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－8(n－1)＋10＝2n2－12n＋20,
∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－8n＋10－2n2＋12n－20＝4n－10.
当n＝1时，a1＝S1＝2－8＋10＝4,
而4×1－10＝－6≠4，∴an＝
∵当n≥2时，an－an－1＝4n－10－4(n－1)＋10＝4,
∴数列{an}从第2项起构成等差数列，但{an}不是等差数列.
解析：(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝
＝－＝·－
＝－·，
当n＝1时，a1＝S1＝－1＝－，
而－·＝－，
所以an＝－·(n∈N＋)．
跟踪训练2 解析：当n＝1时，a1＝－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－
＝－3n＋
又∵a1＝－适合上式
∴an＝－3n＋.
题型三
例3 解析：(1)证明：因为8Sn＝(an＋2)2,
所以当n≥2时，8Sn－1＝(an－1＋2)2,
两式相减得，8an＝
－4an－4an－1＝0.
所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
又因为{an}为正项数列，所以an＋an－1≠0,
从而an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4,
故{an}是公差为4的等差数列.
(2)解：当n＝1时，得8S1＝(a1＋2)2,
即8a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2,
所以{an}的通项公式an＝2＋(n－1)×4，即an＝4n－2.
跟踪训练3 解析：(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0，
∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0.
∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得
＋2＝0，即＝2(n≥2)．
∴数列是等差数列．
(2)∵a1＝1，＝＝1，
∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－.
而－＝2≠1，故{an}的通项公式为
an＝
[课堂十分钟]
1．解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
故选A.
答案：A
2．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N＋).
故选B.
答案：B
3．解析：由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为an，则a1＝2，公差d＝2，an＝2n，Sn＝·n＝240.
解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
答案：C
4．解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)，所以相遇是在开始运动后7分钟．
答案：7
5．解析：当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a2＋22－1，即a1＝3，当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1.又因为a1＝3适合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.2．2 等差数列的前n项和
最新课程标准 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 学科核心素养 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握有关a1，an，d，n，Sn的基本运算．(数学运算) 3．能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决最值问题、实际问题等．(数学建模、数学运算)
第1课时 等差数列的前n项和(一)
[教材要点]
要点 等差数列{an}的前n项和公式
两种不同形式
(1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝______________，
(2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝______________．
状元随笔 (1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．
由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)，
∴Sn＝.
我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．
(2)公式的结构
①Sn＝形似于梯形面积公式．
②Sn＝na1＋d＝n2＋n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为即公差的一半．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( )
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.( )
(3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．( )
(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( )
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于( )
A．45 B．52
C．108 D．54
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230 B．420
C．450 D．540
4．在等差数列{an}中，a1＝，S4＝20，则d＝________．
题型一 等差数列前n项和的基本运算
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
方法归纳
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(3)已知a3＋a15＝40，求S17.
题型二 等差数列前n项和性质的应用
例2 (1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________．
状元随笔 (1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．
(2)中＝＝.
方法归纳
等差数列前n项和的常用性质
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．
(2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的.
(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式＝·进行转化，再利用其他知识解决问题．
(4)用公式Sn＝时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合．
跟踪训练2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于( )
A．18 B．17
C．16 D．15
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
题型三 等差数列前n项和的最值问题
例3 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
变式探究 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取得最大值时，n的值为________．
方法归纳
1．二次函数法
等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以若a1>0，d<0，则Sn必有最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
2．通项公式法
若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组 来确定；
若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组 来确定．
3．图象法
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．
跟踪训练3 在等差数列{an}中a1＝13，S3＝S11，试求Sn的最大值．
易错辨析 忽略等差数列中为零的项而致错
例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
解析：(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
构建不等式组即解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法二)由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d.
由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法三)由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
答案：14或15
【易错警示】
出错原因 纠错心得
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错． 在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项．
[课堂十分钟]
1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝( )
A．96 B．72
C．48 D．60
2．在等差数列{an}中，若a2＋a10＝－70，则S11等于( )
A．－770 B．－385
C．770 D．385
3．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝－4，a7＝4，则( )
A．S4>S6 B．S4＝S5
C．S6>S5 D．S6＝S5
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.
5．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
2．2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和(一)
新知初探·课前预习
要点
(1) (2)na1＋d
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：S9＝＝＝54.故选D.
答案：D
3．解析：S20＝20a1＋d＝20×2＋×2＝420.
故选B.
答案：B
4．解析：由S4＝4a1＋d＝4××d＝20，
解得d＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又∵a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
跟踪训练1 解析：(1)∵Sm＝m×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(3)S17＝＝＝＝340.
题型二
例2 解析：(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
(2)由等差数列的性质，知
＝＝＝＝＝.
答案：(1)C (2)
跟踪训练2 解析：(1)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.
(2)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22，
所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
则＝(n－1)＋a1，所以数列成等差数列．
所以＝，即＝，
所以S110＝－110.
方法三：设等差数列{an}的公差为d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又因为S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
答案：(1)A (2)－110
题型三
例3 解析：解法一：函数法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大．
解法二：通项公式法
由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．
答案：7
变式探究 解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．
答案：12或13
跟踪训练3 解析：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d.
又∵a1＝13，∴d＝－2.∴an＝13＋(n－1)(－2)＝15－2n.
令an≥0，得n≤7.5，即数列的前7项为正数，从第8项起，以后各项为负数，
∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49.
[课堂十分钟]
1．解析：由题可知，求得所以S12＝×12＋＝48.故选C.
答案：C
2．解析：由a2＋a10＝－70得2a6＝－70，即a6＝－35,
所以S11＝＝11a6＝－385.
故选B.
答案：B
3．解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝－4，a7＝4，
所以a1＋2d＝－4，a1＋6d＝4，
联立解得：a1＝－8，d＝2，
所以S4＝4a1＋d＝－20，
同理可得：S5＝－20，S6＝－18.
所以S4＝S5，S6>S5，S4答案：BC
4．解析：因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成的数列也为等差数列，公差为n2d, (d为数列{an}的公差)
所以S6－S3＝S3＋32d＝3＋9d＝21，解得d＝2.
又因为S3＝3a1＋×2＝3，所以a1＝－1.
所以a9＝－1＋8×2＝15.
答案：15
5．解析：(1)设{an}的公差为d,
由已知条件，解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，
所以n＝2时，Sn取得最大值4.
