3．2 等比数列的前n项和
最新课程标准 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数的函数关系． 学科核心素养 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握与前n项和公式有关的计算．(数学运算) 3．能利用等比数列的通项公式及前n项和公式解决生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
第1课时 等比数列的前n项和(一)
[教材要点]
要点一 等比数列的前n项和公式
状元随笔 (1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn －1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便．
要点二 等比数列的前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则________，________，________仍为等比数列．
2．已知{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n，则＝________．
状元随笔 (1)当q ＝ －1且k为偶数时，…不是等比数列；
(2)当q≠ －1时，或q ＝ －1且k为奇数时，…是等比数列．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，则：①前n项积Tn ＝；②连续m项的积仍为等比数列，即Tm，，…是等比数列，公比为.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( )
2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( )
A．93 B．－93
C．45 D．－45
3．在等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4等于( )
A．28 B．32
C．35 D．49
4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点了381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
题型一 等比数列前n项和的基本运算
例1 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
方法归纳
(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练1 在等比数列{an}中，
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
题型二 等比数列前n项和的性质的应用
例2 (1)各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
方法归纳
运用等比数列前n项和的性质解题大大减少了运算量．
跟踪训练2 (1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝________．
(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比和项数分别为________，________．
题型三 等比数列前n项和公式的实际应用
例3 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%，那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(log1.23＝6)．
方法归纳
解数列应用题的具体方法步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
易错辨析 忽略对公比q的讨论致误
例4 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________．
解析：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2.
若q≠1时，则 S3＝＝＝6，
解得q＝－2，此时a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上a3的值为2或8.
答案：2或8
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忽略了对公比q的讨论，直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而漏解致误． 解答有关等比数列求和问题时，应考虑公比q的两种情况q＝1或q≠1，否则容易出错．
[课堂十分钟]
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
2．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A． B．
C． D．
3．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰、日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an(尺)，则an与n的关系为( )
A．an＝1－ B．an＝
C．an＝ D．an＝1－
4．等比数列{an}中，前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________．
5．设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an，Sn.
3．2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和(一)
新知初探·课前预习
要点一
na1
要点二
1．Sn S2n－Sn S3n－S2n
2．q
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：S5＝＝＝93.故选A.
答案：A
3．解析：由等比数列前n项和的性质得
S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4),
即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28(舍去负值).
故选A.
答案：A
4．解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，
解得a1＝192.
答案：192
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝＝.
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又因为Sn＝＝126，所以q为2或.
跟踪训练1 解析：(1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1，
∴n＝5.
(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，
∴q≠1，∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或a1＝－，
∴an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1.
题型二
例2 解析：(1)解法一 设首项为a1，公比为q，由题意知q≠±1，
由，
由以上两式相除得q20＋q10－6＝0，
解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，代入①有＝－10，
∴S40＝＝－10×(－15)＝150.
解法二 易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成公比为q10的等比数列，则
S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10＋q20S10，
即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，
∴S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＝10(1＋2＋22＋23)＝150.
故选A.
解析：(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.
答案：(1)A (2)24
跟踪训练2 解析：(1)由题意知 (S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即(60－48)2＝48(S3n－60)，
∴S3n＝＋60＝63.
(2)由等比数列的性质得＝＝q，
∴q＝2，
设项数为2n，又∵a1＝1
则S奇＝＝85，
∴22n＝256＝28，
∴2n＝8.
答案：(1)63 (2)2 8
题型三
例3 解析：设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{an}，
由题意得：an＋1＝an(1＋20%)，
∴{an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3 000.
∴＝3 000，即1.2n＝3.
解得n＝log1.23＝6.
∴到2005年该地区基本解决退耕还林问题．
跟踪训练3 解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度．
由题意，得an＋1＝an.
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．
[课堂十分钟]
1．解析：由已知得S5＝＝11a1＝44，所以a1＝4.
故选A.
答案：A
2．解析：等比数列中，序号成等差数列，项仍成等比数列，则a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为＝q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn＝，故选C.
答案：C
3．解析：由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以an＝1－＝.
故选C.
答案：C
4．解析：由等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，又S5＝10，S10－S5＝40，所以S15－S10＝160，
所以S15＝S5＋(S10－S5)＋(S15－S10)＝210.
答案：210
5．解析：由已知a2＝a1q＝6，6a1＋a3＝a1(6＋q2)＝30，解得
a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.
所以当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，
Sn＝＝3×2n－3；
所以当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，
Sn＝＝3n－1.第2课时 等比数列的前n项和(二)
题型一 等比数列前n项和的函数特征
例1 已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n项和．
方法归纳
求等比数列前n项和时，若公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；若不等于1，它的前n项和可以看作关于n的函数，然后用函数性质求解．
跟踪训练1 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝( )
A．－4 B．－1
C．0 D．1
题型二 等差数列与等比数列的基本运算
例2 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
方法归纳
在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．
跟踪训练2 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项公式an.
题型三 等差数列与等比数列的综合
例3 在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
方法归纳
(1)通过等差数列，等比数列的通项公式，建立方程组，求出d，q，运用了方程的思想．
(2)对于存在性问题的解题规律是首先假设存在性成立，然后从其出发进行推理论证，若找到符合题设存在的条件，则存在性成立，若出现矛盾，则存在性不成立．
跟踪训练3 在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和，________，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12
[课堂十分钟]
1．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＝( )
A．1 B．2
C． D．
2．公差不为零的等差数列{an}的第二、第三、第六项构成等比数列，则公比为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
4．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．
5．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求{an}的通项公式an；
(2)求数列}的前n项和．
第2课时 等比数列的前n项和(二)
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：由题意得，等比数列{an}的公比q的取值未定，需分情况讨论．
当q＝1时，由于3a1＝1－q＝0，
即a1＝0，与{an}是等比数列矛盾，
∴q≠1，即＝.
又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－·qn＋，
∴Sn＝－qn＋.
跟踪训练1 解析：解法一 设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，
a3＝S3－S2＝＝a1·a3，
即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.
解法二 数列{an}是非常数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此可见a＝－1.
答案：D
题型二
例2 解析：设数列{an}的公差为d，
依题设有即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．
跟踪训练2 解析：设等差数列{an}的首项为a，公差为d，则an＝a＋(n－1)d，
前n项和Sn＝na＋d.
由题意得
其中S5≠0，于是得
整理得解得或
由此得an＝1或an＝4－(n－1)＝n.
经验证an＝1时，S5＝5或an＝n时，S5＝－4均适合题意．故所求数列的通项公式为an＝1或an＝n.
题型三
例3 解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，得
即
解方程组得或(舍)
(2)存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立．
由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1，
由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，
即5n－4＝nloga6＋b－loga6
比较系数得∴
所以存在a＝，b＝1，使得对一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立．
跟踪训练3 解析：∵S5＝25＝5a3，∴a3＝5，
∴a2＝＝＝3，∴b2＝a2＝3.
∴d＝a2－a1＝3－1＝2.
若选①，∵q·d＝1，∴q＝＝，
∴b1＝3×2＝6，∴Tn＝＝12，
由λ|Tn|<12得λ≤1，又λ>0，所以λ的取值范围为(0，1].
若选②，∵a2＋b3＝0，
∴b3＝－a2＝－3，∴q＝－1，b1＝－3，
∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0；
当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4.
综上得λ的取值范围为(0，4)．
若选③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1.
∴q＝＝3.∴Tn＝＝，
由指数函数的性质可知Tn无最大值，
∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12.
[课堂十分钟]
1．解析：(特值法)：设a，b，c分别为2，4，8.
则x＝＝3，y＝＝6∴＝＝2.
故选B.
答案：B
2．解析：设等差数列的公差为d(d≠0)，首项为a1，
由题意可得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)
解得d＝－2a1，或d＝0(舍去)．
∴等比数列的公比q＝＝＝＝3.
故选C.
答案：C
3．解析：∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又∵{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1(n≥2且n∈N*)．
故选A.
答案：A
4．解析：显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又因为Sn＝3n－1＋t，
所以t＝－.
答案：－
5．解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知＝2n，
由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
