高考理数选填压轴专练
练习5
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
3．已知，若函数有三个不同的零点，，（），则的取值范围是（ ）
A．（3，） B．（2，） C．（，） D．（1，）
4．已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且[，]，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
5．已知A（1，1），B（0，1），C（1，0），M为线段BC上一点，且，若，则实数的取值范围是 ．
练习6
1．若是定义在R的奇函数，且是偶函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线（，）的右焦点为F，坐标原点为O，左 右顶点分别为A，B，双曲线上一点D且DF⊥轴．连接AD交轴于C，连接CB交直线DF于E，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三棱锥的底面边长为，，，分别是棱，，的中点，若△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
5．已知抛物线：（）的顶点为O，焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且，过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与轴、轴分别交于点M、N，⊥．垂足为H．下列命题：
①抛物线的标准方程为；
②△OMN的面积为定值；
③M为PN的中点；
④四边形PFNH为菱形；
其中所有正确结论的编号为 ．高考理数选填压轴专练
练习5
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，
因为，，所以，所以，所以，即，
又（0，1），所以．
故答案为：B．
2．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【解析】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，
所以平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：，
方差为，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
3．已知，若函数有三个不同的零点，，（），则的取值范围是（ ）
A．（3，） B．（2，） C．（，） D．（1，）
【解析】
函数，的图象如图所示，
函数有三个不同的零点，，（），
即方程有三个不同的实数根，，，由图知，
当时，，∵（），∴，当且仅当时取得最大值，
当时，，，此时，
由（），可得，
∴，，所以，
∴，
∵，∴的取值范围是（3，）．
故选：A．
4．已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且[，]，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
【解析】由已知可得，且四边形为矩形．
所以，，
又因为，所以．
得离心率．
因为[，]，所以[，]，可得[，1]，
从而[，]．
故答案为：[，]．
5．已知A（1，1），B（0，1），C（1，0），M为线段BC上一点，且，若，则实数的取值范围是 ．
【解析】设点（，），由，得（，）（，1），所以．
因为，所以（，）·（1，）（，）·（，），
即，化简得，
将代入，得，解得，
因为为线段BC上一点，且，所以.综上，可知.
故实数的取值范围是（，1]．
练习6
1．若是定义在R的奇函数，且是偶函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，所以，
因为是定义在R的奇函数，所以，
所以，所以，
当时，有，所以，
所以．
故选：B
2．已知双曲线（，）的右焦点为F，坐标原点为O，左 右顶点分别为A，B，双曲线上一点D且DF⊥轴．连接AD交轴于C，连接CB交直线DF于E，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】由‖DF，△AFD与△AOC相似，△COB与△FEB与相似
所以，，即，所以，
当时，解得：，
设点D在轴上方，如图则D（，）
设（，），则（，0），（，），（，），
由，可得，即，
所以，即，所以，所以．
故选：B
3．已知，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由
令，则，
当（0，1），，单调递增，当（1，）时，，单调递减，
又，则，所以，所以，
又因为，所以，得，故，有．
故选：C
已知正三棱锥的底面边长为，，，分别是棱，，的中点，若△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】在正三棱锥中，
，，分别是棱，，的中点，
则∥SB，PR∥SC，，
而△PQR是等腰直角三角形，即∠QRP=90°，
因此，∠BSC=90°，⊥SC，即有正三棱锥的侧棱SA，SB，SC两两垂直，
以SA，SB，SC为棱的平行六面体是正方体，这个正方体与正三棱锥有相同的外接球，
因正三棱锥的底面边长为，则侧棱，
于是得正三棱锥外接球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
5．已知抛物线：（）的顶点为O，焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且，过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与轴、轴分别交于点M、N，⊥．垂足为H．下列命题：
①抛物线的标准方程为；
②△OMN的面积为定值；
③M为PN的中点；
④四边形PFNH为菱形；
其中所有正确结论的编号为 ．
【解析】设（，），（，），
可知（0，），直线的方程为，
联立，化为，
则，，而，
所以，所以，故抛物线方程为，所以选项①正确；
设（，），抛物线方程为，则，则在点处取得的切线方程斜率为，
所以以点为切点的切线方程为，切线与轴、轴分别交于点M、N，
所以（，0），（0，），
所以，故面积不为定值，选项②错误；
因为（，0），（，），（0，），可知，，所以M为PN的中点，选项③正确；
因为⊥．垂足为，所以（，）、（0，）、（0，1）、（，），
因此且FN∥PH，所以四边形PFNH为平行四边形，又根据抛物线定义，
故四边形PFNH为菱形，所以，选项④正确.
故答案为：①③④
