2022届高考数学核心素养练习专题四：数学建模素养问题（Word版含解析）

专题四：数学建模素养问题
已知单位向量的夹角为，若，则记作.已知向量，则
A. B. C. D.
根据球面三角知识，球O的球面上两点M，N的球面距离等于球心角的弧度数与球半径的乘积，即为弧度数，，球半径为R，则M，N两点的球面距离为将地球看作正球体，已知地球球面上有四个位置，分别用P，A，B，C表示，恰好为正四面体的四个顶点，则球面三角形ABC的一条边长即A，B，C任意两点间的球面距离大约为地球半径取6400km，
A. 2234km B. 7819km C. 12281km D. 17872km
已知点P为平面直角坐标系xOy内的半圆上的动点，定点，现将平面直角坐标系平面沿y轴折成的二面角如图，则P、A两点间距离的取值范围为
A. B. C. D.
一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆若圆柱底面圆半径为r，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是
A. 短轴为2r，且与大小无关 B. 离心率为，且与r大小无关
C. 焦距为 D. 面积为
对于一个有限自然数集的任意一个子集都可以用按一定顺序排列的n个0，1字符串唯一表示，若，则，若，则，，，2，，如可以表示为，A可以表示为，可以表示为记则下列结论正确的为
A. 若，则
B. 满足的不同子集的个数为n
C. 若，则
D. 所有子集对应的之和为
如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处．设连杆AB长200mm，曲柄CB长70mm，则曲柄自按顺时针方向旋转时活塞移动的距离即连杆的端点A移动的距离约为__________参考数据：
某商户要给蛋卷冰淇淋设计一个纸质的圆锥形表面的外包装，该外包装由一个半径为l的圆形纸片、裁剪成一个圆心角弧度数为的扇形，并卷成圆锥面．欲使此扇形卷成的圆锥的体积最大不计接缝损耗及纸张厚度，则裁剪成的扇形的圆心角弧度数__________.
为研究市场上售卖的一款额定功率为的自带水温显示的电动热水壶的加热效果，壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾，某数学兴趣小组统计了烧开水过程的几个关键数值量，其中包含壶中水量单位：、温度单位：、时间单位：，并在设计的表格中记录下来，如下表．
水量 温度 时间
3 10 0
20 90
30 170
40 245
50 320
60 390
70 460
80 525
根据以上数据的散点图，数学小组判断x，y具有很强的线性相关性．试根据参考公式及数据，计算线性回归直线的方程，并估计在同样室温条件下，将壶中3L水烧至沸腾需要的总时间，其中回归方程系数保留两位小数，时间单位精确到整数；小组通过查阅资料，知道有科学实验表明：
①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶中水量近似满足正比例关系；
②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是，则t分钟后水的温度可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量．
现在因为要赶时间，计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧至沸腾后就放入容器，直到水温降到这一系列过程．根据以上事实，在水壶中加入水，试估计完成整个过程10分钟的时间够用吗？请说明理由．
参考公式及数据：，，，，，
已知椭圆E：上一点A处的切线为l，两焦点，在l上的射影分别为P，我们常常把过切点A且与切线l垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点A不在x轴上时，记，，的面积分别为，，若
求证：；
试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；当点A不在x轴上时，是否存在常数，使得恒成立？并给出证明或解释．
若椭圆E的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆E的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
理解新定义，将坐标转化为向量线性运算及数量积计算；考查知识迁移及模型理解．
【解答】
解：由定义得，
，
，
故
故选

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查数学建模问题，通过条件中正四面体内接于球的条件，计算球心角大小，结合给出的公式求解.
【解答】
解：设地球半径为 R，正四面体棱长为 a，如图所示
球心O在正四面体的高PQ上，Q为正的中心，则，，
在直角中，R，
解得
在中，，
，
，B两点的球面距离约为
故选

3.【答案】B
【解析】
【分析】
考查空间想象能力，建立空间几何模型，转化为平面图形求距离，利用三角函数知识求最值．
【解答】
解：如图，记坐标系一、四象限所在半平面为半平面
①当P在y轴上时，P点坐标为或，故或 ；
②当P不在y轴上时，过点P作半平面于点H，连接，PA，HA，则
作轴于点C，连接PO，PC，则，
平面PHC
平面PHC
平面PHC
为二面角的平面角，即，
设点Q为半圆与y轴负半轴的交点，
则，，
在中，，，
则，
由
，其中，，为锐角，
则，，故
综上所述：，
故选

4.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆简单几何性质及圆柱、立体几何线面、面面关系，进而判断出椭圆的长轴、短轴、焦距位置及相互关系，考查直观想象与逻辑推理能力．
【解答】
解：根据平面截圆柱模型，平面与圆柱母线相交的最高点与最低点的连线段就是长轴，
此截面内经过长轴中点且与长轴垂直的线段即为短轴，
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a、 b、 c，
则短轴，故A正确；
又，则，，
离心率为，故B错误；
焦距为，故C正确；
利用射影定理求面积，椭圆在底面射影面积为圆面积，
椭圆面积S满足，则，故D正确．
故选：

5.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题以集合为载体，考查数学建模问题，理解子集与字符串的对应关系，根据子集与字符串特点分别求和．考查模型理解与解构能力，突出数学抽象、逻辑推理的学科素养．
【解答】
解：对于A：若，则，则字符串的其余数字为0，
，故A错误；
对于B：若，则中为个1，则有个元素，
故不同子集的个数为，故B正确；
对于C：若，则中为m个1，则的m个元素，
中有个元素，对应的字符串中有个1，其余为0，
则，故C正确；
对于D：所有子集中，单元素子集有个，数字1共出现次，
2个元素的子集有个，数字1共出现次，
3个元素子集有个，数字1共出现次，…，
依此类推，n个元素子集有，数字1出现次，
设，
则
则所有子集对应的之和为，故D正确
故选：

6.【答案】36
【解析】
【分析】
以生活实践情境为载体，考查阅读理解、三角函数模型建构与求解能力，突出数学运算与应用意识．
【解答】
解：如图，在中，，，，，
由正弦定理，，
，，故为锐角，
，
，
所以，
故
故曲柄自按顺时针方向旋转时活塞移动的距离约为

7.【答案】
【解析】
【分析】
考查空间想象能力、数学建模及数学运算能力，用圆锥侧面展开图的圆心角建立半径与母线、高的关系，选择半径为变量建立函数模型并求最值．
【解答】
解：设卷成圆锥的高为h，圆锥的底面半径为r，则母线长为l，
由题意知 ，
卷成的圆锥体积，
则，
令，则；
，则；
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取最大值，
此时，
裁剪成的扇形的圆心角弧度数

8.【答案】解：由题意得 ，，
，则
则回归直线方程为
当时，
故将壶中3L水烧至沸腾需要的时间约为
设可以将水烧至沸腾，由条件①得，，得
设t分钟后水的温度从降到
由题意得，，，，则由公式，有，
则，，
由得
则完成整个过程的总时间为，
故完成整个过程，10分钟的时间够用.
【解析】阅读理解模型及数据关系，通过所给数据及相关事实计算求解；考查数学模型理解、建构与求解，数据分析整合能力及应用意识．
9.【答案】解：记，，，则，
在中，
又，两式相减，得，
由题意得
故，，则，
由知，，则
当A为椭圆左右顶点时，也满足上式.
故，为定值.
由，则，同理，
则
由知，，则
，，
则，
则，
由，知，故
椭圆E的方程为
【解析】利用椭圆定值及相关几何性质，结合解三角形及三角函数知识，建立函数与方程模型，通过三角变换求解；考查逻辑推理及数学运算．
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