2022年高考理科数学考前临门一脚（全国乙卷）（Word版含解析）

2022年高考理科数学考前临门一脚（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若（i为虚数单位）是实数，则( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.若复数z满足，则为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2，高为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5．已知命题p：点在圆内，则直线与圆C相离；命题q：直线直线m，//平面，则.下列命题正确的是
A． B． C． D．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A. B.
C. D.
7.若实数x，y满足约束条件则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，在直角三角形ABC中，，作直角三角形ABC的内切圆，在内随机取一点，则此点取自直角三角形ABC的内切圆的概率是( )
A. B.
C. D.
9．已知函数的图象关于直线对称，则
A．函数在上单调递增
B．函数为偶函数
C．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
D．若，则的最小值为
10.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
11.若函数的最大值为2，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.最小正周期为π B.最小值为
C.函数图象关于中心对称 D.图象关于直线对称
12.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则函数在点处的切线方程为_____________.
14.若x，y满足约束条件则的最小值为___________.
15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的面积是，且，则的面积是__________.
16.已知双曲线的右焦点为，直线与的左、右两支及x轴分别交于A，B，C三点，若x轴上的点M满足，且，则的离心率为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在①；②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
已知中的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若______．
（1）求内角A的大小；
（2）设，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. （12分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
19.（12分）如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为E上一点，当时，.
（1）求E的标准方程；
（2）已知点，过点A的直线l交E于C，D两点，直线BC，BD分别交y轴于点，求证：为定值，并求出定值.
21．（12分）
已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得的面积等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.
23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]
已知函数.
（1）解关于x的不等式；
（2）求满足的实数x的取值范围.
答案及解析
1.答案：C
解析：若为实数，则，得.故选C.
2.答案：B
解析：，
复数，，故选B.
3.答案：D
解析：设圆台上、下底面的半径分别为，高为h，母线长为l，
则，
因此圆台的侧面积，故选D.
4.答案：C
解析：由可得.因为，所以，则.由可得.故.
5．答案B
解析：对于命题p，点在圆内，则，故圆心（0，0）到直线的距离，则直线与圆C相离，为真命题，
对于命题q，与的位置关系不确定，为假命题.
选项中只有为真命题．故选B.
6.答案：B
解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为矩形(长为4、宽为2)，高为4的四棱锥，
其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的表面积，故选B.
7.答案：A
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含部分边界）所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数无最大值，其最大值无限接近于点处取得的值，在点处取得最小值，所以z的取值范围为，故选A.
8.答案：B
解析：设.因为，故，则，.三角形ABC的周长.设直角三角形ABC的内切圆的半径为r，则，所以，故直角三角形ABC的内切圆的面积，所以所求概率，故选B.
9．答案D
解析：由题意的图象关于直线对称，所以，即，
又，所以，所以.
对于A，因为，所以，所以函数在上不单调，故A错误；
对于B，，为奇函数，故B错误；
对于C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故C错误；
对于D，因为，，结合题意，所以的最小值为半个周期，又，所以，所以的最小值为，故D正确.故选D.
10.答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.
11.答案：D
解析：由题意，，其中.因为的最大值为2，所以(舍)或，所以函数，将图象向左平移个单位长度后，得到，再将所得函数图象上所有的点的横坐标伸长至原来的2倍，则函数，所以函数的最小正周期为，所以选项A错误；函数的最小值为，所以选项B错误；，所以选项C错误，选项D正确，故选D.
12.答案：D
解析：因为函数与的图象关于直线对称，，
所以，所以，则.
当时，，是上的增函数.
因为，所以，
函数在上有唯一零点，不符合题意；
当时，有唯一零点，不符合题意；
当时，令，得，在上，，函数是增函数；
在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.
若无零点，则，解得，
故实数k的取值范围是，故选D.
13.答案：
解析：，，函数在点处的切线斜率，所求的切线方程为，即.
14.答案：-3
解析：由题意，作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，将目标函数变形得，通过平移直线可知当目标函数过点时，直线的纵截距的值达到最大，即目标函数z的值达到最小，将代入得最小值为-3.
15.答案：
解析：因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.
16.答案：
解析：依题意得C为的左焦点，则.由，得.
，，，.设，则，，，，，，.由双曲线的定义知，，即，①.又，，，即是等边三角形，.在中，由余弦定理知，，即，化简得②.由①②，得，所以的离心率.
17．（12分）
解析：（1）若选①：
由正弦定理及得，，
则，
所以．
∵，∴．（6分）
若选②：
由和正弦定理得，得．
∵在内，，∴．
即，
∵，∴，∴，
∴．（6分）
（2）由正弦定理得，即，则，
∵，则或，
若，则，则；
若，则，则．
∴的面积为或．（12分）
18.解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以
.
19.解析：（1）证明：由已知得，平面，平面，
故.
又，，
所以平面.
（2）由（1）知.
由题设知，
所以，故，.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则，，，，所以，，.
设平面EBC的法向量为，
则即
所以可取.
设平面的法向量为，
则即
所以可取.
于是.
所以二面角的正弦值为.
20.答案：（1）标准方程为.
（2）定值为，证明过程见解析.
解析：（1）当时，由，得.
又，所以.
又因为，
解得，
所以E的标准方程为.
（2）证明：显然直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程可设为，
代入消去y得，
，，
设，
则，
，
直线，
令，则得；
直线，
令，则得；
所以
，
所以为定值，且定值为.
21．（12分）
解析：（1）由题意知，，
因为的面积为1，所以．
又直线AF的方程为，即，
因为点O到直线AF的距离为，
所以，解得，，，
所以椭圆C的标准方程为．（4分）
（2）依题意，当直线MN的斜率为0时，不符合题意；
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为，
联立，得，
易知．
设，，则，，
因为轴，轴，所以，，
所以直线QM：①，
直线NE：②，
联立①②解得，
因为，ME与直线平行，
所以，
因为，
所以，
由，得，
解得，
故存在直线l的方程为或，使得的面积等于．（12分）
22.解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，
由曲线C的极坐标方程，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，
得，设A，B两点的参数为，则.
所以
23.答案：（1）解集为.
（2）取值范围为.
解析：（1）由得.
①当时，不等式为，
解得，故；
②当时，不等式为，
解得，故；
③当时，不等式为，
解得，故.
综上可知，不等式的解集为.
（2）由可得.
又，
当且仅当，即时，取等号，
满足的实数x的取值范围为.