第二章 导数及其应用 章末复习课学案（Word版含答案）

章末复习课
考点一　导数几何意义的应用
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．通过对求切线方程的考查，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
例1　已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
跟踪训练1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点二　利用导数研究函数的单调性
1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例2　设函数f(x)＝a ln x＋，a为常数，讨论函数f(x)的单调性．
跟踪训练2　已知a∈R，求函数f(x)＝2x2eax的单调区间．
考点三　利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值，求参数的值．
3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
例3　设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a ln x.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；
(2)求函数f(x)的极值点．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)．
(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．
考点四　利用导数研究方程、不等式等综合问题
1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．
2．通过对以上知识的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．
章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一　设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝
∴直线l的方程为＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝＋x0－16. 整理得＝－8，
∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝＝＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
跟踪训练1　解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1，
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
例2　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0.
设x1，x2(x1则x1＝，
x2＝，
由x1＝＝>0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－跟踪训练2　解析：函数f(x)的定义域为R，函数的导数f′(x)＝4xeax＋2ax2eax＝2(2x＋ax2)eax.
(1)当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0；若x>0，则f′(x)>0.
所以当a＝0时，函数y＝f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．
(2)当a>0时，由2x＋ax2>0，解得x<－或x>0；由2x＋ax2<0，解得－所以当a>0时，函数y＝f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．
(3)当a<0时，由ax2＋2x>0，解得0由2x＋ax2<0，解得x<0或x>－.
所以当a<0时，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间上为增函数，在区间上为减函数．
例3　解析：(1)由已知得x>0.
当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，
所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.
解析：(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.
①当0当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的；
当x∈(a，1)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．
此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．
②当a>1时，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的；
当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．
综上，当01时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．
跟踪训练3　解析：(1)当m＝－2时，f(x)＝ln x＋(x>0)，
则f′(x)＝，
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln 2＋1，无极大值．
(2)f′(x)＝，
①当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，
f(x)min＝f(1)＝－m＝4，
解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．
②当－ex∈(－m，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
f(x)min＝f(－m)＝ln (－m)＋1＝4，
解得m＝－e3，不满足－e③当m≤－e时，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，
f(x)min＝f(e)＝1－＝4，
解得m＝－3e，满足m≤－e.
综上m＝－3e.
例4　解析：(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(－) 时，f′(x)＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)可知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同的交点，需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.则方程f(x)＝a有3个不同的实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
(3)方法一　f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是单调递增，所以g(x)＞g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围为(－∞，－3].
方法二　直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1，0)处的切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知，要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3].
跟踪训练4　解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，
即f(x)在(a，＋∞)上无零点．
(2)当x＜a时，f(x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1)．
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，
则x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，则f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，
则f(x)有两个零点．