鲁教版（五四制）数学六年级下册 6.6 平方差公式 教案（共2课时）

平方差公式
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）教学知识点：
1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
（二）能力训练要求：
1．在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力。
2．培养学生观察、归纳、概括等能力。
（三）情感与价值观要求：
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美。
【教学重点】
平方差公式的推导和应用。
【教学难点】
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式。
【教学过程】
（一）创设情景，引入新课：
1．［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）992－1
［生］可以。在（1）中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999，在（2）中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800。
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将（1）（2）中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便。我们不妨观察第（1）题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差。即：
(2000+1)(2000－1)=20002－12
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做。
（二）使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律
［师］出示投影片
1．做一做：计算下列各题：
（1）(x+2)(x－2)；
（2）(1+3a)(1－3a)；
（3）(x+5y)(x－5y)；
（4）(y+3z)(y－3z)。
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法。
［生］上面四个算式每个因式都是两项。
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积。例如：算式（1）是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式（2）是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式（3）是“x”与“5y”的和与差的积；算式（4）是“y”与“3z”这两个数的和与差的积。
［师］我们观察出了算式的结构特点。像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案。
［生］解：（1）(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；
（2）(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；
（3）(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；
（4）(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2
（如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想。）
［生］从刚才这位同学的运算，我发现：
即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果。
即：
［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
［生］可以。例如：
（1）101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；
（2）(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2。
即：
上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差。
［师］为什么会有这样的特点呢？
［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零。只剩下这个数的平方差。
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以。上述规律用符号表示为：
(a+b)(a－b)=a2－b2
其中a，b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式。
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即：
(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2
［师］同学们确实不简单?用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快。
你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的。
［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式。
［师］大家同意吗？
［生］同意。
［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的。你能用语言描述这个公式吗？
［生］可以。这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差。
［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式。用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算。
（三）体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式。
1．出示投影片
［例1］（1）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+1)(1+x)
B．(a+b)(b－a)
C．(－a+b)(a－b)
D．(x2－y)(x+y2)
E．(－a－b)(a－b)
F．(c2－d2)(d2+c2)
（2）利用平方差公式计算：
(5+6x)(5－6x)；(x－2y)(x+2y)；(－m+n)(－m－n)。
［生］（1）中只有B、E、F能用平方差公式。因为B．(a+b)(b－a)利用加法交换律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a)，表示b与a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E．(－a－b)(a－b)，同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)，表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F．(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点。
［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？
［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式。
［师］下面我们就来做第（2）题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式。
［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式。
［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式。
［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2；
(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2；
(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2
［师］这位同学的思路非常清楚。下面我们再来看一个例题。
2．出示投影片
［例2］利用平方差公式计算：
（1）(－x－y)(－x+y)；
（2）(ab+8)(ab－8)；
［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示。然后再派一位同学讲评。
［生］解：（1）(－x－y)(－x+y)——(－x)与y的和与差的积
=(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)与y的平方差
=x2－y2——运算至最后结果
（2）(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积
=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差
=a2b2－64——运算至最后结果
［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：
（1）公式中的字母A、B可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式。
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式。
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式。
［生］还需注意最后的结果必须最简。
［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题。
3．投影片
计算：
（1）(a+2)(a－2)；
（2）(3a+2b)(3a－2b)；
（3）(－x+1)(－x－1)；
（4）(－4k+3)(－4k－3)。
解：（1）(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4；
（2）(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2；
（3）(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1；
（4）(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9。
把下图左框里的整式分别乘(a+b)，所得的积写在右框相应的位置上。
解：(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；
(a－b)(a+b)=a2－b2；
(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2；
(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2
（教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导）
（四）课时小结：
［师］同学们有何体会和收获呢？
［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2
［生］应用这个公式要明白公式的特征：
1．左边为两个数的和与差的积；
2．右边为两个数的平方差。
［生］公式中的A、B可以是数，也可以是代表数的整式。
［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式。
［师］同学们总结得很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？
［生］可以。992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：
992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800。
［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了。
【第二课时】
【教学目标】
（一）教学知识点
1．了解平方差公式的几何背景。
2．会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
3．体会符号运算对证明猜想的作用。
（二）能力训练要求
1．用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力。
2．培养学生观察、归纳、概括等能力。
（三）情感与价值观要求
1．在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣。
2．体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美。
【教学重点】
平方差公式的几何解释和广泛的应用。
【教学难点】
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能。
【教学方法】
启发——探究相结合
【教学过程】
（一）创设问题情景，引入新课
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a。这个正方形的面积是多少？
［生］a2
［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图6－5）。现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分的面积吗？
图6－5
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2)。
［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论。（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法。）
［生］老师，我们拼出来啦。
［师］讲给大伙听一听。
［生］我是把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b)，长是a；下面的小长方形长是(a－b)，宽是b。我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图6－6所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为(a+b)，(a－b)，面积为(a+b)(a－b)。
图6－6
［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2。
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式。
［生］我明白了。上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式。今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了。
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证。
［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识。这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用。
（二）讲授新课：
［师］出示投影片
1．想一想：
（1）计算下列各组算式，并观察它们的特点
；；
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？
（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
［生］（1）中算式算出来的结果如下：
；；
［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1。
［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
［生］我猜想是。我又找了几个例子如：
；；
［师］你能用字母表示这一规律吗？
［生］设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1。
［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明。
［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？（同学们惊讶，然后讨论）
［生］a可以代表任意一个数。
［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡。
［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系。在平时有什么用途呢？（陷入沉思）
［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899。
［师］的确如此。我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了。
我们不妨再做几个类似的练习。
2．做一做：
［例3］用平方差公式计算：
（1）103×97；（2）118×122
［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦。但注意观察就会发现新的奥妙。
［生］我发现了：103=100+3，97=100－3，因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991。太简便了！
［生］我观察也发现了第（2）题的“奥妙”。
118=120－2，122=120+2；
118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396。
［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出。
［师］我们再来看一个例题
［例4］计算：
（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2；
（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)。
分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简。
解：（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25
注意：在（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体。
［例5］公式的逆用
（1）(x+y)2－(x－y)2；（2）252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便。
解：（1）(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
（2）252－242
=(25+24)(25－24)
=49
（三）随堂练习：
1．计算：
（1）704×696
（2）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（3）x(x－1)－(x－)(x+)
（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠）
解：（1）704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984
（2）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1=2x2－4y2－1
（3）x(x－1)－(x－)(x+)=(x2－x)－［x2－()2］=x2－x－x2+=－x
2．补充练习：
出示投影片
解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
（先由学生试着完成）
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12
x=2
（四）课时小结：
［师］同学们这节课一定有不少体会和收获。
［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释。也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面。
［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇。
［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方。例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b)，算出来一定先放在括号里，然后再去括号。就不容易犯错误了。
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