1.5.1正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 同步学案

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
最新课标 借助单位圆，能画出正弦、余弦函数的图象，借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质．
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
[教材要点]
要点一　五点法作图
画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的五个关键点是：____________，__________，__________，__________，(2π，0)．
状元随笔　关于正弦函数y ＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0，2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0，2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
要点二　正弦函数的性质
定义域 ________
值域 ________
周期性 最小正周期________
奇偶性 ________函数
单调性 在区间________________(k∈Z)上单调递增， 在区间________________(k∈Z)上单调递减
最大(小)值 当x＝________，k∈Z时，最大值为1； 当x＝________，k∈Z时，最小值为－1.
[教材答疑]
[教材P29思考交流]
正弦函数y＝sin x的图象既是轴对称又是中心对称，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限内的角越大，其正弦线越长．(　　)
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸．(　　)
(3)正弦函数是定义域上的增函数．(　　)
(4)正弦曲线的对称轴为x＝2kπ＋，k∈Z，对称中心点为(2kπ，0)(k∈Z)．(　　)
2．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)
3．[多选题]下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝sin 3x D．y＝sin
4．函数f(x)＝sin 的图象的对称轴方程是________．
题型一　用五点法作函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图——师生共研
例1　在[0，2π]内用“五点法”画出y＝－sin x－1的简图．
方法归纳
用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来．
跟踪训练1　利用“五点法”画出函数y＝－2＋sin x，x∈[0，2π]的简图．
题型二　根据正弦函数的图象求角的范围——师生共研
例2　利用正弦曲线，求满足状元随笔　先作出正弦函数y ＝sin x在[0，2π]上的简图，确定出在一个周期[0，2π]内x的取值范围，再结合正弦函数周期性得到全部x的取值范围．
变式探究　将本例中的条件改为“sin x≥”，求x的取值范围．
方法归纳
利用正弦曲线求解sin x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图象；(2)作直线y＝a与函数图象相交；(3)在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据正弦函数周期性确定最终范围．
题型三　正弦函数的基本性质——微点探究
微点1　求周期
例3　函数y＝sin 的周期为________．
微点2　单调性的应用——比较大小
例4　若a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则(　　)
A．a>b>c　　　　 B．c>a>b
C．a>c>b D．b>a>c
微点3　最大(小)值
例5　若函数y＝a－b sin x的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4a sin bx的最值．
方法归纳
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期．
(2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上．
(3)求形如：y＝a sin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解．
跟踪训练2　(1)[多选题]下列比较大小正确的是(　　)
A．sin >sin B．sin C．sin (2)对于函数f(x)＝x sin x，给出下列三个命题：
①f(x)是偶函数；
②f(x)是周期函数；
③f(x)在区间上的最大值为.
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
易错辨析　忽视正弦函数的有界性致误
例6　已知sin x＋sin y＝，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值．
解析：因为sinx＋sin y＝，所以sin x＝－sin y.
因为－1≤sin x≤1，所以
解得－≤sin y≤1.
又易知M＝sin x＋sin2y－1＝－，
所以当sin y＝－时，Mmax＝；
当sin y＝时，Mmin＝－.
易错警示
易错原因 纠错心得
未求出sin y的范围，直接利用当sin y＝－1时，Mmax＝，致错． 应利用sin x＋sin y＝与sin x∈[－1，1]求出sin y的取值范围．这是解题正确的关键．
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5．1　正弦函数的图象与性质再认识
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(0，0)　　(π，0)　
要点二
R　[－1，1]　2π　奇　
　2kπ＋　2kπ＋
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
3．答案：BD
4．解析：由x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
答案：x＝kπ＋，k∈Z
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：①列表：
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
跟踪训练1　解析：按五个关键点列表如下．
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－2＋sin x －2 －1 －2 －3 －2
描点并连线，得函数y＝－2＋sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示．
题型二
例2　解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象(如图所示)．
作出直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和；作出直线y＝，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为和.则由正弦函数的周期性可知，不等式(k∈Z)．
变式探究　解析：如图，作y＝sin x的图象与直线y＝.
在[0，2π]内满足sin x≥的角x的取值范围为≤x≤，所以由正弦函数的周期性知，满足sin x≥的角x的集合为.
题型三
例3　解析：周期T＝＝4π.
答案：4π
例4　解析：∵a＝sin 1，b＝sin 2＝sin (π－2)，c＝sin 3＝sin (π－3)，且0<π－3<1<π－2<.又y＝sin x在上是单调递增的，∴sin (π－3)a>c.
答案：D
例5　解析：设t＝sin x∈[－1，1]，则y＝a－bt.
①当b>0时，a－b≤a－bt≤a＋b.
∴∴
∴所求函数为y＝－2sin x.
②当b<0时，同理可得∴
∴所求函数为y＝－2sin (－x)＝2sin x.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sin x，其最小值为－2，最大值为2.
跟踪训练2　解析：(1)A中，∵－<－<－<0，且y＝sin x在上单调递增，∴sin >sin ，A正确；B中，∵sin ＝sin ，又0<<<，y＝sin x在上单调递增，∴sin sin ，D错误．故选AC.
(2)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，故①正确；
虽然函数y＝sin x是周期函数，但f(x)＝x sin x不具有周期性，故②错误；
易知f(x)在区间上是增加的，∴f(x)在处取得最大值，最大值为sin ＝，故③正确．
答案：(1)AC　(2)①③