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单元复习课
专题四 模 型 拓 展
易错考点
模型一：平行线＋中点模型
如图D6－4－1，AB∥CD，O是AD的中点，则O是BC的中点. 易得△AOB≌△DOC.
【对应练习】
1. 如图D6－4－2，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．求证：
（1）△BOE≌△DOF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.
∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
模型二：平行线＋中点变式
如图D6－4－3，AB∥CD，AB＝CD，则O是AD的中点，O是BC的中点，易得△AOB≌△DOC(平行线＋中点得平行“8”字全等).
【对应练习】
2. 已知：如图D6－4－4，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.
模型三：平行线＋中点——延长法构造平行“8”字全等
如图D6－4－5，AB∥CD，O为AD的中点，E是AB上一点，连接EO并延长交CD于点F，则O是EF的中点.
(2)如答图D6－4－1，令BF交EC于点P.
由(1)，得△CAE≌△BCF，MN是△BDF的中位线，
∴∠FBC＝∠ACE，∴MN∥BF.
∴∠MNC＝∠BPC.
∵∠ACB＝90°,∴∠PCB＋∠ACE＝90°.
∴∠PCB＋∠FBC＝90°. ∴∠BPC＝90°.
∴∠MNC＝90°. ∴MN⊥CE.
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第六章 平行四边形
第42课时 平行四边形的性质(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
平行四边形的对角线________________.
互相平分
如图6－42－1，在□ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是( )
A. 16 B. 20
C. 21 D. 23
C
课堂导练
【例1】如图6－42－2，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，OA＝5，OB＝3，求AD和AC的长.
知识点1 平行四边形的性质(3)
思路点拨：由平行四边形的性质，得出AC＝2OA＝10，OD＝OB＝3，再由勾股定理求出AD的长即可.
1. 如图6－42－3，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8. 求OB的长度及□ABCD的面积.
【例2】已知：如图6－42－4，点O为□ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA，DC的延长线于点E，F.
求证：AE＝CF.
知识点2 平行四边形的性质(4)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO. 又∵OB＝OD，∴△EBO≌△FDO(AAS).
∴BE＝DF. 又∵AB＝CD，
∴BE－AB＝DF－CD,即AE＝CF.
2. 如图6－42－5，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任作直线分别交AB，CD于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长.
(2)解：∵△OAE≌△OCF，
∴AE＝CF.
∴DF＋AE＝CD＝AB＝6.
又∵EF＝2OE＝4，
∴四边形AEFD的周长＝AD＋DF＋AE＋EF＝5＋6＋4＝15.
知识点3 创新题
A
思路点拨：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′. 首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解.
3. 如图6－42－7，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ____________.
6
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第六章 平行四边形
第48课时 多边形的内角和与外角和(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 多边形内角的一边与另一边的_________________所组成的角叫做这个多边形的____________，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的_________________.
反向延长线
外角
外角和
1. 对于多边形的外角，最准确的叙述是( )
A. 内角的对顶角
B. 内角的邻角
C. 与内角有公共顶点的角
D. 内角的邻补角
D
B. 定理：多边形的外角和都等于____________.
360°
2. 已知一个多边形的外角都等于40°，那么这个多边形的边数为( )
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
A
课堂导练
知识点1 多边形的外角计算（1）
思路点拨：根据每个外角都等于相邻内角的五分之一，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数.
1. 是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的3倍？说明理由.
解：设多边形的外角的度数是x°，则内角是(3x)°，
则x＋3x＝180.
解得x＝45.
则多边形的边数是360÷45＝8.
故存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的3倍.
【例2】一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数. 若这个多边形的每一个内角都相等，则每一个内角等于多少度？
知识点2 多边形的外角计算（2）
思路点拨：多边形的外角和为360°，即可求得内角和，根据每个内角相等即可求得内角的度数.
【例3】已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°.
(1)当x＝2y时，求n的值；
(2)若x＋y＋m＝2 380，求m的值.
知识点3 创新题
解：(1)∵多边形的外角和为360°，∴y＝360.
∵n边形的内角和为(n－2)×180°，
∴x＝(n－2)×180＝180n－360.∵x＝2y，
∴180n－360＝2×360.∴n＝6.
(2)∵x＋y＋m＝2 380，
∴180n－360＋360＋m＝2 380，即180n＋m＝2 380.
∵n边形的一个外角是m°，
∴m＜180.∵n为正整数，
∴n为2 380÷180的整数部分，m为2 380÷180的余数.
∵2 380÷180＝13……40，∴m＝40.
思路点拨：(1)根据多边形的外角和定理和多边形的内角和公式列代数式求解即可；(2)把多边形的内角和公式与外角和定理代入所给代数式求解即可，外角m是小于180的.
3. (1)已知A＝2x(x－1)－x(1－3y)，B＝－x2＋xy－1，且A＋2B的值与x无关，求y的值；
(2)如果一个n边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2∶3，求这个多边形的内角和.
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第六章 平行四边形
第47课时 多边形的内角和与外角和(一)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 定理：ｎ边形的内角和等于_____________________.
(ｎ－2)×１８０°
1. 一个八边形的内角和的度数为( )
A. 360° B. 720°
C. 900° D. 1 080°
D
B. n边形过每一个顶点的对角线有____________条，
则n(n＞3)边形的对角线的条数为____________.
(n－3)
2. 从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有( )
A. 7条 B. 4条
C. 6条 D. 2条
A
课堂导练
【例1】一个多边形的内角和等于1 080°，它是几边形？
知识点1 多边形的内角和(1)
解：设它是n边形. 由内角和公式，
得(n－2)×180°＝1 080°.
解这个方程，得n＝8.
答：它是八边形.
思路点拨：根据多边形的内角和公式可得答案.
1. 一个多边形的内角和等于1 260°，它是几边形？共有多少条对角线？
【例2】小明在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°. 请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
知识点2 多边形的内角和(2)
解：不正确. 理由如下：设多边形是n边形，
由题意，得145°n＝(n－2)×180°. 解得n≈10.28.
∵n是正整数，∴n＝10.28不符合题意，要舍去.
∴他求的正多边形的内角不正确.
思路点拨：根据多边形的内角和公式可得方程，根据解方程可得答案.
2. 一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1 980°的新多边形，求原多边形的边数.
解：设新的多边形的边数为n.∵新的多边形的内角和是1 980°，
∴180°×(n－2)＝1 980°.解得n＝13.
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形的边数为12，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形的边数为13，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形的边数为14，
∴原多边形的边数可能是12或13或14.
【例3】已知多项式A＝(x－1)(x＋1)－(x＋1)2.
(1)化简多项式A；
(2)若一个多边形的内角和为540°，且它的边数为x，求A的值.
知识点3 创新题
解：(1)A＝x2－1－(x2＋2x＋1)
＝x2－1－x2－2x－1
＝－2x－2.
(2)根据题意，得(x－2)×180°＝540°.
解得x＝5.
当x＝5时，A＝－2×5－2＝－12.
思路点拨：(1)根据平方差公式及完全平方公式化简即可；(2)根据多边形的内角和公式求解x,再将x代入求值即可.
3. A＝4xy·(－3y)＋2y(6xy＋2)，其中y＝2.
(1)求A的值；
(2)已知正多边形的边数为A，求该正多边形每个内角的度数.
解：(1)A＝4xy·(－3y)＋2y(6xy＋2)
＝－12xy2＋12xy2＋4y
＝4y.
当y＝2时，A＝4×2＝8.
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单元复习课
专题三 中考新题型(中考新动向)
易错考点
【考点一】平行四边形最值的创新应用
【例1】如图D6－3－1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值.
B
【考点二】平行四边形的翻折变换(折叠问题)
【例2】如图D6－3－3，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折,使点C落在E处，BE与AD相交于点O．若∠DBC＝15°，则∠BOD＝( )
A. 130° B. 140°
C. 150° D. 160°
C
【对应练习】
2. 如图D6－3－4，□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处. 若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为( )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
B
谢 谢
泰
解：在Rt△ABC中，∠B=90
,BC LAB.四边形DCE是平行四边形
。.0D=0P,0A=0C.。.当0D取最小值时，
线段最短，此时OD⊥BC.
.OD是△ABC的中位线
ED
=201
=4.则DP的最小值是4.(共8张PPT)
单元复习课
专题二 中考重难点
易错考点
一、平行四边形的性质
【例1】(2021滨州)如图D6－2－1，在□ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E. 若∠A＝60°，则∠DEB的大小为( )
A. 130° B. 125°
C. 120° D. 115°
C
二、平行四边形的判定
【例2】(2020衡阳)如图D6－2－2，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. AB∥DC，AD＝BC
D. OA＝OC，OB＝OD
C
三、三角形中位线定理
【例3】(2021衢州)如图D6－2－3，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为( )
A. 6 B. 9
C. 12 D. 15
B
【对接中考】
1. (2021扬州)如图D6－2－4，在□ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED. 若∠EBC＝30°，BE＝10，则□ABCD的面积为____________.
50
2. (2020牡丹江)如图D6－2－5，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD. 请你添加一个条件____________________，使AB＝CD. (填一种情况即可)
AD＝BC(答案不唯一)
3. (2021青海)如图D6－2－6，在△ABC中，D，E，F，分别是边AB，BC，CA的中点. 若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为____________.
20
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单元复习课
专题一 本章易错点例析
易错考点
一、基础不牢
【例1】已知：如图D6－1－1，四边形ABCD，AD∥BC，试着再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形.
【错解】∠3＝∠4或AB＝CD.
【错解分析】由题意可知，四边形已经有一组对边平行，所以只要这组对边相等或另一组对边平行即可. 而错解中由∠3＝∠4推出的还是已知的AD∥BC，所以添加的这个条件是无效的. 相反，添加∠1＝∠2是可行的，因为由∠1＝∠2可推出AB∥CD，此时利用两组对边分别平行的判定定理即可. 错解中的AB＝CD也不行，等腰梯形就是一个反例.
【正解】∠1＝∠2，AB∥CD或AD＝BC等.
过关巩固
1. 如图D6－1－2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______________________，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).
AD＝BC(答案不唯一)
二、理解不深
【例2】已知如图D6－1－3，四边形ABCD，有下列四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD，以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A. 2组 B. 3组
C. 4组 D. 5组
【错解】A
易错考点
【错解分析】所给的四个条件中，两个一组，共有六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中①④，②④是课本上的判定定理，同学们能够很快判断出来，但是对于①③(一组对边平行，一组对角相等)这样的命题，一些同学没有进行深入思考，所以会有所遗漏. 实际上，这是一个真命题，很容易就能证明四边形ABCD是平行四边形.
【正解】B
过关巩固
2. 如图D6－1－4，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
C
易错考点
三、考虑不周
【例3】平面直角坐标系内有A(－2，1)，B(－3，－1)，C(0，－1)三点，点D也在坐标平面内，且以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是一个平行四边形，
则点D的坐标为_______________.
【错解】(1，1)
【错解分析】如图D6－1－5，先把A，B，C三点的坐标在平面直角坐标系中标出来. 因为以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是一个平行四边形，所以线段AB不是边就是对角线. 过C，A，B三点分别作AB，BC，AC的平行线，然后利用平行四边形的定义，将符合条件的点找出，即D1，D2，D3.
【正解】(1，1)，(－5，1)，(－1，－3).
过关巩固
3. 如图D6－1－6，在平面直角坐标系中，A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在坐标系中找一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是___________________________________.
(2,5),(－6,5)或(0,－7)
四、说理不严
【例4】已知：平行四边形ABCD如图D6－1－7所示，AC，BD交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于点F. 求证：OE＝OF.
【错解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE＝OF.
易错考点
【错解分析】错解中，因为题目中未明确指出点E，O，F在同一直线上，因此不能肯定∠AOE与∠COF是对顶角，若用到这个条件，必须先给出严格的证明.
【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC. ∴∠DAO＝∠BCO.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF.
过关巩固
4. 如图D6－1－8，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F. 求证：OE＝OF.
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第六章 平行四边形
第43课时 平行四边形的判定(一)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
(1)定义：____________________的四边形是平行四边形；
(2)定理：________________________的四边形是平行四边形；
(3)定理：______________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB∥CD，AD∥BC
B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB＝CD，AD∥BC
D. AB∥CD，AB＝CD
C
课堂导练
【例1】如图6－43－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＋∠D＝180°. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
知识点1 平行四边形的判定（1）
证明：∵∠C＋∠D＝180°，
∴AD∥BC.又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
思路点拨：由∠C＋∠D＝180°证出AD∥BC，再由AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出结论.
1. 如图6－43－2，在□ABCD中，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形AECF是平行四边形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【例2】如图6－43－3，线段AD是线段BC经过平移得到的，分别连接AB，CD. 四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
知识点2 平行四边形的判定(2)
思路点拨：根据平移的性质，利用两组对
边分别相等的四边形是平行四边形即可证明.
解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：
由平移的性质，得AD＝BC，AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
2. 如图6－43－4，已知△ABC,将边BC平移，使点B与点A重合，点C的对应点设为D. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：由平移的性质可得△ABC≌△CDA
∴BC＝AD，AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【例3】已知：如图6－43－5，在□ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，BE＝DF. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
知识点3 平行四边形的判定(3)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴DF∥BE.
又∵BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
思路点拨：根据一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可.
3. 如图6－43－6，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，连接AF，BD. 求证：四边形ABDF是平行四边形.
4. 如图6－43－7，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动. 当一点到达终点时，两点均停止运动.
(1)经过几秒，四边形ABQP为平行四边形？
(2)经过几秒，直线PQ将四边形ABCD截出一
个平行四边形？
知识点4 创新题
解：(1)设经过t s四边形ABQP是平行四边形.
根据题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，
则BQ＝(6－2t) cm.
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形.
∴t＝6－2t.
解得t＝2.
∴经过2 s，四边形ABQP为平行四边形.
(2)由(1)知，经过2 s四边形ABQP是平行四边形，设经过x s直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP.
根据题意，得AP＝x cm，CQ＝2x cm，
则PD＝(9－x) cm.
∵AD∥BC，
∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形.
∴2x＝9－x.
解得x＝3.
综上所述，经过2 s或3 s直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
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第六章 平行四边形
第46课时 三角形的中位线
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
连接三角形________________的线段叫做三角形的____________.三角形中位线定理：三角形的中位线__________________，且等于________________.
两边中点
中位线
平行于第三边
第三边的一半
如图6－46－1，D，E分别为△ABC边AC，BC的中点，∠A＝60°，DE＝6，则下列判断错误的是( )
A. ∠ADE＝120°
B. AB＝12
C. ∠CDE＝60°
D. DC＝6
D
课堂导练
【例1】如图6－46－2，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并测出MN的长，由此他就知道了A，B间
的距离. 你能说说其中的道理吗？
知识点1 三角形中位线定理(1)
解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线.∴AB＝2MN.
∴测出MN的长，就知道了A，B间的距离.
思路点拨：根据三角形中位线定理解答即可.
1. 某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量. 如图6－46－3，在地面上取一点C，使点C到A，B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为
1 100 m，求隧道AB的长度.
解：∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线.
又∵DE＝1 100 m，
∴AB＝2DE＝2 200 m.
∴隧道AB的长度为2 200 m.
【例2】如图6－46－4，任意做一个四边形，
并将其四边的中点依次连接起来，得到一个
新的四边形，这个新的四边形的形状有什么
特征？请证明你的结论.
知识点2 三角形中位线定理(2)
2. 如图6－46－5，已知△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点. 求证：
(1)四边形EFPQ是平行四边形；
(2)BG＝2GE，CG＝2GF.
(2)由(1)，得四边形EFPQ是平行四边形，
∴GE＝GP，GF＝GQ.
∵BG＝2GP，CG＝2GQ，
∴BG＝2GE，CG＝2GF.
知识点3 创新题
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠ABD. ∴AB＝AD.
∵BE＝DE，∴AE⊥BD.
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第六章 平行四边形
第45课时 平行四边形的判定(三)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离____________，这个距离称为______________________________.夹在两条平行线间的平行线段____________.
相等
平行线之间的距离
相等
已知直线m∥n，如图6－45－1，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离？( )
A. 只有AB
B. 只有AE
C. AB和CD均可
D. AE和CF均可
C
课堂导练
【例1】如图6－45－2，为了检验一块木板相对的两个边缘是否平行，木工师傅常常把两把曲尺的一边紧靠木板的一个边缘，再看木板另一边缘对应曲尺上的刻度是否相等，如果刻度相等，木工师傅就判断木板相对的两个边缘平行. 你能说说木工师傅这样做的道理吗？
知识点1 平行线之间的距离
解：∵根据题意，得AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC(平行四边形的对边平行).
思路点拨：由题意可得AB＝CD，AB∥CD，即可证得四边形ABCD是平行四边形，然后由平行四边形的对边平行，即可证得木板两个边缘平行.
1. 如图6－45－3，l1∥l2，AB∥CD，BC＝2CF. 若△CEF的面积是5，求四边形ABCD的面积.
【例2】已知，如图6－45－4，在□ABCD中，E，F分别是边CD和AB上的点，AE∥CF，BE交CF于点H，DF交AE于点G.
求证：EG＝FH.
知识点2 平行四边形的综合判定
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC.又∵AE∥FC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF＝EC. ∴BF＝DE.又∵AB∥DC，
∴四边形FBED是平行四边形.
∴DF∥BE.又∵AE∥CF，
∴四边形FHEG是平行四边形.∴EG＝FH.
思路点拨：利用平行四边形的性质，得出AB DC，进而得出四边形AFCE是平行四边形，再求出四边形FBED是平行四边形，得出DF∥BE，即可得出四边形FHEG是平行四边形，即可得出结论.
2. 如图6－45－5所示，□ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点. 求证：四边形ENFM是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.
∴∠CFB＝∠ABF. ∴∠AED＝∠ABF.
∴ME∥FN.
又∵M，N分别是DE，BF的中点，且DE＝BF，
∴ME＝FN. ∴四边形ENFM是平行四边形.
【例3】如图6－45－6，已知l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，点A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上. 设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.
知识点3 创新题
解：∵直线l1∥l2，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等.
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形同底、等高.
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形的面积相等，即S1＝S2＝S3.
思路点拨：根据两平行线间的距离相等即可解答.
3. 小颖对小明说，你给我任意一个四边形ABCD，我都可以画出一个与你给的四边形面积相等的三角形，方法如下：如图6－45－7，连接BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接DE，则S△AED＝S四边形ABCD. 他说的有道理吗？
解：有道理.理由如下：
∵CE∥BD，∴S△BDC＝S△BDE.
∴S△AED＝S△ADB＋S△BDE，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC.
∴S△AED＝S四边形ABCD.
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第六章 平行四边形
第44课时 平行四边形的判定(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
定理：_________________的四边形是平行四边形.
对角线互相平分
如图6－44－1，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AO＝OC，AC＝BD
B. BO＝OD，AC＝BD
C. AO＝BO，CO＝DO
D. AO＝OC，BO＝OD
D
课堂导练
【例1】如图6－44－2，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E，F分别为AO，OC的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
知识点1 平行四边形的判定(4)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC.
又∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形.
思路点拨：根据平行四边形的性质，得出BO＝OD，AO＝OC，再求出EO＝OF，根据平行四边形的判定定理即可推出.
1. 已知：如图6－44－3，在□BEDF中，点A，C在对角线EF所在的直线上，且AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如答图6－44－1，连接BD交AC于点O.
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF.
又∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
即OA＝OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点2 创新题
思路点拨：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”
即可证.
②解：在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA.
∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD.
∵OA＝OC，∴OE⊥AC.
∴OE是AC的垂直平分线. ∴AE＝CE.
∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形.
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10(cm).
∴C四边形AECF＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm).
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第六章 平行四边形
第41课时 平行四边形的性质(一)
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01
思维导图
02
名师导学
03
课堂导练
本章知识梳理
名师导学
A. (1)__________________________的四边形叫做平行四边形;
(2)平行四边形的对边___________，对角____________.
两组对边分别平行
相等
相等
1. 如图6－41－1，在□ABCD中，AB＝3，BC＝4，则下列结论错误的是( )
A. AB∥CD，AD∥BC
B. CD＝3，AD＝4
C. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
D. ∠A＋∠C＝180°
D
B. 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的________________. 平行四边形是________________图形，两条对角线的交点是它的________________.
对角线
中心对称
对称中心
2. 如图6－41－2所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论不成立的是( )
A. △AOD≌△COB
B. △AOD≌△COD
C. 点O是□ABCD的对称中心
D. OB＝OD
B
课堂导练
【例1】如图6－41－3，四边形ABCD是平行四边形. 求：(1)∠ADC和∠BCD的度数；
(2)AB和BC的长度.
知识点1 平行四边形的性质(1)
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝56°，
∠BCD＋B＝180°.∴∠BCD＝124°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝25，BC＝AD＝30.
思路点拨：根据平行四边形的性质即可得到结论.
1. 如图6－41－4，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
(2)若BC＝7，CD＝5，求DE的长度.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠C＝∠A，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB＝25°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝25°.
∴∠ABE＝∠AEB＝25°.
∴∠C＝∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝130°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝5，BC＝7，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7.
由(1)，得∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5. ∴DE＝AD－AE＝7－5＝2.
【例2】已知：如图6－41－5，平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE＝DF. 求证：△ABE≌△CDF.
知识点2 平行四边形的性质(2)
思路点拨：结合平行四边形的性质进行分析，在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用SAS，ASA，SSS等来证明三角形全等.
2. 已知如图6－41－6，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F. 求证：BF＝DE.
【例3】如图6－41－7，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F.
(1)求DF的长;
(2)点H为CD的中点，连接AH交BF于点G.
求证：点G是BF的中点.
知识点3 创新题
(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD＝6，CD＝AB＝4.
∴∠F＝∠FBA.
∵∠ABC的平分线为BE，
∴∠FBC＝∠FBA.
∴∠F＝∠FBC.∴BC＝CF＝6.
∴DF＝CF－CD＝6－4＝2.
思路点拨：(1)由平行四边形的性质和角平分线证出∠F＝∠FBC，得出BC＝CF＝6，即可得出结果；(2)证出HF＝AB，由AAS证明△ABG≌△HFG，得出对应边相等即可.
3. 已知：如图6－41－8，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为点G，射线BG交AD于点H，交CD的延长线于点M.
(1)求CE的长；
(2)求MF的长.
解：(1)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝6，AB＝CD＝4.
∴∠DAE＝∠AEB. ∴∠BAE＝∠AEB.
∴BE＝AB＝4. ∴CE＝BC－BE＝6－4＝2.
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