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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第17课时 矩形（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解并掌握矩形的判定方法.
2. 能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
本课目标
知识重点
知识点：矩形的判定
（1）有一个角是__________的平行四边形是矩形；
（2）__________________的平行四边形是矩形；
（3）有__________是直角的四边形是矩形.
直角
对角线相等
三个角
对点范例
如图18-17-1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB=CD
B. AD=BC
C. ∠AOB=45°
D. ∠ABC=90°
D
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-17-2，在Rt△ABC中，
∠C=90°，D，E，F分别是AC，AB，
BC的中点，连接ED，EF. 求证：四边
形DEFC是矩形.
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC.
∴四边形DEFC是平行四边形.
又∵∠C=90°，
∴平行四边形DEFC是矩形.
思路点拨：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
举一反三
1. 如图18-17-3，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且DF=BE，连接BF. 求证：四边形BFDE是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
又∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE是矩形.
典例精析
【例2】如图18-17-4，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC＝2OA，BD＝2OD.
∵OA＝OD，∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
思路点拨：对角线相等的平行四边形是矩形.
举一反三
2. 如图18-17-5，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE= AB. 求证：四边形CFED是矩形.
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，且DF= AB.
∴四边形CFED是平行四边形.
又∵CE= AB，∴CE=DF.
∴四边形CFED是矩形.
典例精析
【例3】如图18-17-6，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线. 求证：四边形FDEC是矩形.
证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=CD.
又∵DE是∠BDC的平分线，
∴DE⊥BC.
同理可得DF⊥AC.
∵∠CFD=∠CED=∠ACB=90°.
∴四边形DECF是矩形.
思路点拨：有三个角是直角的四边形是矩形.
举一反三
3. 如图18-17-7，在□ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线. 求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BH，CH分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB= （∠ABC+∠BCD）=
×180°=90°.
∴∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°.
同理可得∠F=90°，∠AEB=90°.
∴∠HEF=∠AEB=90°.
∴∠H=∠HEF=∠F=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
典例精析
【例4】如图18-17-8，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=55°，求∠OAB的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°.
∵∠OAD=55°，
∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=35°.
思路点拨：先证明□ABCD是矩形，再根据矩形的性质求解即可.
举一反三
4. 如图18-17-9，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4. 求□ABCD的面积.
解：∵□ABCD的对角线相交于点O，△AOB是等边三角形，
∴OA=OC，OB=OD，OA=OB=AB=4.
∴AC=BD.
∴□ABCD是矩形.
∴∠BAD=90°，BD=2OB=8.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD= =4
∴S□ABCD=AB·AD=4×4 =16 .
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第12课时 平行四边形的性质（一）
1. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
2. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
本章知识梳理
课标要求
3. 了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.
4. 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形具有矩形和菱形的一切性质.
5. 探索并证明三角形的中位线定理.
知识梳理
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解并掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质.
2. 能够灵活运用平行四边形的性质解决问题.
本课目标
知识重点
知识点一：平行四边形的定义
两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形.
平行
对点范例
1. 如图18-12-1，用4个全等的等边三角形拼成一个几何图案，从该图案中可以找出__________个平行四边形.
3
知识重点
知识点二：平行四边形的性质
平行四边形的对边__________，对角__________.
相等
相等
对点范例
2. 如图18-12-2，在□ABCD中，若∠A=45°，BC=2，CD=3，则AB=__________，AD=__________，∠B=__________，∠C=__________，∠D=__________.
3
2
135°
45°
135°
知识重点
知识点三：两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这_________________________.
两条平行线之间的距离
对点范例
3. 如图18-12-3，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是__________.
3
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-12-4，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，则图中共有多少个平行四边形？
解:在□ABCD中，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.
故除□ABCD外，图中还有□AGOE，□AGHD，□ABFE，□GBFO，□GBCH，□FCHO，□FCDE，□HDEO，共9个平行四边形.
思路点拨：根据平行四边形的定义即可确定.
举一反三
1． 如图18-12-5，△DEF是等边三角形ABC沿线段BC方向平移得到的，请你想一想，图中共有多少个平行四边形？
解：∵△DEF是等边三角形ABC沿线段
BC方向平移得到，
∴AD∥BF,AB∥DE,AC∥DF.
∴平行四边形有□ADEB，□ADFC，共2个．
典例精析
【例2】如图18-12-6，在□ABCD中，DE=BF，连接AE，CF，分别交对角线BD于点E，F. 求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，AD=CB.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
∴AE=CF.
AD＝CB，
∠ADE=∠CBF，
DE＝BF，
思路点拨：根据平行四边形的性质可得到两个三角形全等，进而求证即可.
举一反三
2. 如图18-12-7，在□ABCD中，E,F分别是DA,BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF. 求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB.
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
∴AE＝CF.
∠ABE=∠CDF,
AB=CD,
∠BAE=∠DCF,
典例精析
【例3】如图18-12-8，在□ABCD中，AD=16 cm，AB=12 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长度.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=12 cm，BC=AD=16 cm，BC∥AD.
∴∠ADE=∠CED.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE.
∴∠CED=∠CDE.
∴CE=CD=12 cm.
∴BE=BC-CE=16-12=4（cm）.
思路点拨：根据平行四边形的性质以及角平分线的性质得出边和角的关系，即可求解.
举一反三
3. 如图18-12-9，在□ABCD中，AB＝2BC，E是AB的中点，连接CE,DE.
（1）求证：CE是∠BCD的平分线；
（2）求∠DEC的大小.
（1）证明：在□ABCD中，AB∥CD,
∴∠DCE＝∠BEC.
∵AB＝2BC，E是AB的中点，∴BC＝BE.
∴∠BCE=∠BEC.∴∠DCE＝∠BCE.
∴CE是∠BCD的平分线.
（2）解：根据（1）同理可得,DE平分∠ADC.
在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°.∴∠CDE+∠DCE＝90°.
∴∠DEC=180°-（∠CDE+∠DCE）＝90°.
典例精析
【例4】 如图18-12-10，在□ABCD中，∠A=45°，BC=2，则AB与CD之间的距离为__________.
思路点拨：结合平行四边形的性质和两条平行线之间的距离的定义，构建直角三角形，然后利用勾股定理解答即可.
举一反三
4. 在□ABCD中，AB，BC长分别为12和26，AD与BC之间的距离
为8，则AB与CD之间的距离为__________.
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第十八章 平行四边形
单元复习课
专题一 中考重难点
一、平行四边形
1. 如图D18-1-1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB=DC，AD=BC
C. AB∥DC，AD=BC
D. OA=OC，OB=OD
C
2. 如图D18-1-2，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E. 若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A. 120°
B. 100°
C. 110°
D. 90°
C
3. 如图D18-1-3，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是（ ）
A. 16
B. 18
C. 20
D. 24
C
4. （2020·包头）如图D18-1-4，在□ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为__________.
16
4或8
5. （创新题）在□ABCD中，∠A＝30°，AD＝4 BD＝4，则CD的长为_____________．
6. 如图D18-1-5，在□ABCD中，点E，F分
别在BC，AD上，且BE=DF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若AE平分∠BAD，BE=3，求CD的长.
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC.
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC.
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AE=CF.
（2）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE.
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE=3.
∴CD=AB=3.
7. （2020·广西）如图D18-1-6，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是
平行四边形.
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形.
AB=DE，
AC=DF，
BC=EF，
【中考对接】
8. （2021·遵义）如图D18-1-7，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. OB=OD
B. AB=BC
C. AC⊥BD
D. ∠ABD=∠CBD
A
9. （2021·荆门）如图D18-1-8，将一副三角板在□ABCD中作如下摆放，如果∠1=30°，那么∠2=（ ）
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
C
10. （2021·安顺）如图D18-1-9，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F. 若AB=3，AD=4，则EF的长是（ ）
A. 1
B. 2
C. 2.5
D. 3
B
11. （2021·嘉兴）如图D18-1-10，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H. 若AB=2，BC=2 则AH的长
为__________.
12. （2021·宁夏）如图D18-1-11，BD是□ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F. 求证：AE∥CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，∠BAD=∠BCD.
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠BAD，∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E，F，
∴∠EAD= ∠BAD，∠FCB= ∠BCD.
∴∠EAD=∠FCB.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（ASA）.
∴∠AED=∠CFB.
∴AE∥CF.
∠ADE＝∠CBF，
AD＝CB，
∠EAD＝∠FCB，
13. （2021·湖南）如图D18-1-12，四边形ABCD中，AB=CD，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE=CF，连接BE，DF.若BE=DF，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE ≌△CDF（SSS）.
∴∠BAE=∠DCF.
∴180°-∠BAE=180°-∠DCF，即∠BAC=∠DCA.
∴AB∥CD.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
AB=CD，
AE=CF，
BE=DF，
二、矩形
14. 如图D18-1-13，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为点F.
（1）求证：DF=AB；
（2）若∠FEC=135°，且AB=4，求AD的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°.
∴∠AEB=∠DAF.
∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°.
在△ADF和△EAB中，
∴△ADF≌△EAB（AAS）. ∴DF=AB.
∠DFA＝∠B，
∠DAF＝∠AEB，
AD＝EA，
（2）解：∵∠FEC=135°，
∴∠AEB=180°-∠FEC=45°.
∴∠DAF=∠AEB=45°.
∴∠ADF=90°-∠DAF=45°.
∴AF=DF=AB=4.
在Rt△ADF中，AD= =4
15. （2020·遂宁）如图D18-1-14，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形.
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）.
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形.
【中考对接】
16. （2021·江苏）如图D18-1-15，四边形ABCD与四边形AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，CD上. 若BE=FD=2 cm，矩形AEGF的周长为20 cm，则图中阴影部分的面积为__________ cm2.
24
17. （2021·益阳）如图D18-1-16，在矩形ABCD中，已知AB=6，∠DBC=30°，求AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，AC=BD，∠BCD=90°.
又∵∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2×6=12.
∴AC=BD=12.
18. （2021·连云港）如图D18-1-17，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∵C是BE的中点，
∴BC=CE.
∴AD=CE.
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
∵AB=AE，
∴DC=AE.
又∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形.
三、菱形
19. 如图D18-1-18，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果AC=6 求DE的长.
解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=AB.
∴∠DAB+∠ABC=180°，AD=BD=AB.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠DAB=60°.
∴∠ABC=180°-∠DAB=120°.
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC=3
∵△ABD是等边三角形，AO⊥BD，DE⊥AB，
∴DE=AO=3
20. 如图D18-1-19，在□ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形.
证明：（1）如答图D18-1-1，连接AC，与BD相交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵BE=FD，
∴OB-BE=OD-DF，即 OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
∴□ABCD是菱形.
∴AC⊥BD，即AC⊥EF.
又∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形.
【中考对接】
21. （2021·兰州）如图D18-1-20，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC=60°，∠BCE=15°，ED=4+4 则AD=（ ）
A. 4
B. 4
C. 6
D. 8
D
22. （2021·菏泽）如图D18-1-21，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM=∠CDN. 求证：BM=BN.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C.
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND（ASA）.
∴AM=CN.
∴AB-AM=BC-CN，即BM=BN.
∠A＝∠C，
AD＝CD，
∠ADM＝∠CDN，
23. （2021·鞍山）如图D18-1-22，在□ABCD中，G为BC边上一点，DG=DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F. 求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C，AD∥BC，AB∥CD.
又∵AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD∥BC，∴∠DGC=∠ADE.
∵DG=DC，∴∠DGC=∠C.
∴∠BAD=∠ADE.
∴AE=DE.
∴四边形AEDF是菱形.
四、正方形
24. 如图D18-1-23，正方形ABCD和正方形CEFG有一个公共点C，连接BE交CD于点T，连接DG交BE于点H. 求证：BE=DG，BE⊥DG.
证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°.
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS）.
∴BE=DG，∠CBE=∠CDG.
∵∠CBE+∠BTC=90°，∠BTC=∠DTE，
∴∠CDG+∠DTE=90°.
∴∠DHT=180°-（∠CDG+∠DTE）=90°.
∴BE⊥DG.
BC＝DC，
∠BCE＝∠DCG，
CE＝CG，
25. 如图D18-1-24，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）当DE与BC满足什么数量关系时，
四边形BECF是正方形？请说明理由．
（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB=AC，
∴BD=CD，AD⊥BC.
∵BF∥EC，
∴∠DBF=∠DCE.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE（ASA）.
∠DBF=∠DCE，
BD=CD，
∠BDF=∠CDE，
（2）解：当DE= BC时，四边形BECF是正方形.理由如下：
∵△BDF≌△CDE，∴BF=CE，DF=DE.
∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形.
又∵AD⊥BC，∴四边形BECF是菱形.
当DE= BC时，EF=2DE=BC，
∴四边形BECF是正方形.
【中考对接】
26. （2021·邵阳）如图D18-1-25，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF. 连接DE，DF，BE，BF.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AB=4 AE=2，求四边形BEDF的周长.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB=CD，∠DAE=∠BCF=45°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
AD＝BC，
∠DAE＝∠BCF，
AE＝CF，
（2）解：∵AB=AD=4
∴在Rt△ABD中，BD= =8.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=8，AC⊥BD，OD=OB=OA=OC= BD=4.
又∵AE=CF=2，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF=4-2=2.
∴四边形BEDF为菱形.
在Rt△DOE中，DE= =2
∴四边形BEDF的周长为2 ×4=8 .
27. （2021·兴安盟）如图D18-1-26，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H.
（1）求证：AD⊥EF；
（2）当△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF是正方形？说明理由.
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°.
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴AE=AF.∴AD⊥EF.
∠EAD＝∠FAD，
∠AED＝∠AFD，
AD＝AD，
（2）解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.
理由如下：
∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形.
五、中点问题
28. 如图D18-1-27，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D，E，F分别是三边的中点，且DE=4 cm，则AF的长度是（ ）
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
C
29. （创新题）如图D18-1-28，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=6，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，则△A3B3C3的周长
=__________，△AnBnCn的周长=__________.
30. 如图D18-1-29，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点.
（1）若AB=6，AC=8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF⊥AD.
（1）解：∵AB=6，AC=8，E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE= AB=3，AF= AC=4.
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE= AB=3.
同理可得DF= AC=4.
∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=3+4+4+3=14.
（2）证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线. ∴EF∥BC.
又∵AD⊥BC，∴EF⊥AD.
【中考对接】
31. （2021·盐城）如图D18-1-30，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则AB=__________.
4
32. （2021·西宁）如图D18-1-31，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE. 若DE= AE=
则点A到BC的距离是__________ .
33. （2020·北京）如图D18-1-32，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD.
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴OE∥FG.
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形.
又∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°.
∴四边形OEFG是矩形.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10.
∴∠AOD=90°.
∵E是AD的中点，
∴OE=AE= AD=5.
由（1）知四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5.
∵AE=5，EF=4，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF= =3.
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第18课时 菱形（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解菱形的概念，掌握菱形面积的计算方法，会用菱形的性质进行有关的论证和计算.
2. 在探究菱形的性质过程中，体会类比的数学思想.
本课目标
知识重点
知识点一：菱形的定义
有一组__________相等的_______________叫做菱形.
邻边
平行四边形
对点范例
1. 如图18-18-1，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充的条件是______________________（只需填一个即可）.
AB＝BC（答案不唯一）
知识重点
知识点二：菱形的性质
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四条边都__________，两条对角线互相__________，并且每一条对角线平分_____________.
相等
垂直
一组对角
对点范例
2. 如图18-18-2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
（1）若AB=2，则AB=__________=__________=__________ =__________;
（2）若∠ABC=110°，则∠BCD=__________°，∠ABD=∠__________=∠__________=∠__________
=__________°.
BC
CD
AD
2
70
CBD
ADB
CDB
55
知识重点
知识点三：菱形的面积
菱形的面积等于两条对角线_______________，也可以用底乘_______________来计算菱形的面积.
乘积的一半
底边上的高
对点范例
3. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 若AC=16，BD=12，则菱形的周长为__________，面积为__________.
40
96
课堂演练
典例精析
【例1】下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
思路点拨：根据菱形的定义和有关性质判断.
C
举一反三
1. 菱形具有而平行四边形不一定具备的是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 邻角互补
C. 对角相等
D. 每条对角线平分一组对角
D
典例精析
【例2】如图18-18-3，在菱形ABCD中，E,F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF. 求证：∠ADE=∠CDF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）.
∴∠ADE＝∠CDF.
AD=CD，
∠A=∠C，
AE=CF，
思路点拨：根据菱形的性质和三角形全等证明即可.
举一反三
2. 如图18-18-4，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，AB的中点. 求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
∵E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE= AD，AF= AB.
∴AE=AF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴BE=DF.
AB＝AD，
∠A＝∠A，
AE＝AF，
典例精析
【例3】如图18-18-5，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，DH⊥AB于点H，求DH的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16 cm，BD=12 cm，
∴AO= AC=8 cm，BO= BD=6 cm，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AB= =10（cm）.
∵S菱形ABCD= AC·BD=AB·DH，
∴DH= =9.6（cm）.
思路点拨：根据菱形的性质，结合勾股定理和菱形的面积公式进行计算即可.
举一反三
3. 如图18-18-6，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8 cm. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB=OD，AC⊥BD，AD∥BC，
∠ABO=∠CBO.
∴∠ABC+∠BAD＝180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，
∴∠ABC＝ ×180°＝60°.
∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°.
∵菱形ABCD的周长是8 cm，
∴AB=8÷4＝2（cm）.
∴OA＝ AB＝1（cm）.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
OB＝ （cm）.
∴AC＝2OA＝2（cm），BD＝2OB＝2 （cm）.
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第15课时 平行四边形的判定（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
2. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
本课目标
知识重点
知识点一：三角形中位线的定义
连接三角形两边__________的线段叫做三角形的中位线．
中点
对点范例
1. 如图18-15-1，在△ABC中，D,E,F
分别是边BC，AB，AC的中点，则EF是
△ABC的__________线，AD是△ABC的
__________线.
中位
中
知识重点
知识点二：中位线定理
三角形的中位线__________于第三边，并且等于第三边的__________.
平行
一半
对点范例
2. 如图18-15-2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点. 若BC的长为6 cm，则DE的长是__________ cm.
3
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-15-3，为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD=8 m，则水池的宽AB为（ ）
A. 16 m B. 14 m
C. 12 m D. 10 m
思路点拨：根据三角形的中位线定理求解即可.
A
举一反三
1. 东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图18-15-4，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB=AC=12 m，
BC=10 m，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈
放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A. 22 m B. 24 m
C. 27 m D. 32 m
C
典例精析
【例2】如图18-15-5，在△ABC中，点E，F分别为边AB，AC的中点，延长EF到点G使FG=EF. 求证：四边形EGCB是平行四边形.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线.
∴EF∥BC，EF= BC.
∵EF=FG，
∴EG=2EF=BC.
∴四边形EGCB是平行四边形.
思路点拨：先根据三角形的中位线定理得到两边关系，再根据平行四边形的判定方法证明即可.
举一反三
2. 如图18-15-6，在△ABC中，中线 BD，CE相交于点O，F，G分别为OB，OC的中点，连接EF，FG，GD，DE. 求证：四边形DEFG是平行四边形.
证明：∵ BD，CE是△ABC的中线，
∴点D，E分别是AB，AC的中点.
∴DE= BC，DE∥BC.
∵F，G分别是OB，OC的中点，
∴FG= BC，FG∥BC.
∴FG=DE，FG∥DE.
∴四边形DEFG是平行四边形.
典例精析
【例3】如图18-15-7，在□ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N.求证：MN∥AD且MN= AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD.
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形.
∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点，
∴M为AE的中点，N为DE的中点.
∴MN为△AED的中位线.
∴MN∥AD且MN= AD.
思路点拨：根据平行四边形的判定和性质得到MN为△AED的中位线，即可求证.
举一反三
3. 如图18-15-8，E为□ABCD的边DC
延长线上的一点，且CE=CD，连接AE，
分别交BC，BD于点F，G，连接AC，交
BD于点O，连接OF. 求证：AB=2OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AO=CO.
∴∠BAF=∠CEF.
∵CD=EC，∴AB=EC.
在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF（AAS）.
∴BF=CF.
又∵AO=CO，
∴OF为△ABC的中位线.
∴AB=2OF.
∠BAF＝∠CEF，
∠AFB＝∠EFC，
AB＝EC，
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第20课时 正方形（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系.
2. 能用正方形的定义、性质进行论证与计算.
本课目标
知识重点
知识点一：正方形的定义
有一组邻边__________并且有一个角是__________的______________________叫做正方形.
相等
直角
平行四边形
对点范例
1.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________.
正方形
知识重点
知识点二：正方形的性质
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故其具备__________和__________的一切性质.
矩形
菱形
对点范例
2. 对角线相等且互相垂直的四边形一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. A，B，C都不正确
D
课堂演练
典例精析
【例1】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
思路点拨：根据正方形和菱形的性质判断即可.
B
举一反三
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角都是直角
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相平分
C
典例精析
【例2】如图18-20-1，在正方形ABCD中，E，F分别是DC和CB的延长线的点，且DE=BF，连接AE，AF. 求证：△ABF≌△ADE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
∴∠ABF=180°-∠ABC=90°.
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（SAS）.
AB＝AD，
∠ABF＝∠ADE，
BF＝DE，
思路点拨：根据正方形的性质结合三角形全等的判定进行论证即可.
举一反三
2. 如图18-20-2，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE=BF，AE与BF相交于点O. 求证：AE⊥BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC.
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）.
∴∠BAE=∠CBF.
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°.
∴∠BOE=180°-（∠CBF+∠BEA）=90°.
∴AE⊥BF.
AB＝BC，
AE＝BF，
典例精析
【例3】如图18-20-3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，求∠BFC的度数.
解:∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=45°,∠BAD=90°.
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°.
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°.
∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE= （180°-∠BAE）=15°.
∴∠BFC=∠ABE+∠BAC=15°+45°=60°.
思路点拨：根据正方形和等边三角形的性质求解即可.
举一反三
3. 如图18-20-4，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O. BD=10，点E，F是BD上的两点，BE=DF=2，求四边形AECF的周长.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD=OA=OC= BD=5，BD⊥AC.
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF.
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形.
∵OB=OC=5，BE=2，
∴OE=OB-BE=3.
在Rt△CEO中，由勾股定理，得
CE=
∴菱形AECF的周长为4
典例精析
【例4】（创新题）如图18-20-5，直线a过正方形ABCD的顶点A，过点B作BE⊥直线a，过点D作DF⊥直线a，垂足分别为点E，F. 求证DF=AE.
证明：∵DF⊥a，BE⊥a，
∴∠DFA=∠AEB=90°.
∴∠FDA+∠DAF=90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=AB，∠DAB=90°.
∴∠DAF+∠EAB=90°.
∴∠FDA=∠EAB.
在△DFA与△AEB中，
∴△DFA≌△AEB（AAS）.
∴DF=AE.
∠DFA＝∠AEB，
∠FDA＝∠EAB，
DA＝AB，
思路点拨：利用正方形中的“一线三直角”的全等模型.
举一反三
4. （创新题）如图18-20-6，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（3，4），求点A的坐标.
解：如答图18-20-1，过点A作AB⊥x轴于点B，过点D作DE⊥x轴于点E.
∴∠ABO＝∠OED＝90°.
∴∠OAB+∠AOB=90°.
∵四边形OACD是正方形，
∴OA=DO，∠AOD=90°.
∴∠DOE+∠AOB=90°. ∴∠OAB=∠DOE.
在△AOB和△ODE中，
∴△AOB≌△ODE（AAS）. ∴AB=OE，OB=DE.
∵点D的坐标为（3，4），
∴OE=3，DE=4.∴AB=3，OB=4.
∴点A的坐标为（-4，3）.
∠ABO＝∠OED，
∠OAB＝∠DOE，
AO＝OD，
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第十八章 平行四边形
单元复习课
专题二 中考新题型
【考情讲述】
在近两年的广东卷中都出现了正方形与折叠相结合的问题，去年是选择题，今年是简答题，在其他地区的考题中也有体现，值得引起关注.
【中考真题】
（2020·广东）如图D18-2-1，在正
方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，
CD上，∠EFD=60°. 若将四边形EBCF沿EF
折叠，点B的对应点B′恰好落在AD边上，
则BE的长度为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
D
【例1】如图D18-2-2，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G.若∠EFG=64°，则∠EGB等于（ ）
A. 128°
B. 130°
C. 132°
D. 136°
A
1. 如图D18-2-3，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的度数为__________.
45°
【例2】如图D18-2-4，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
B
2. 如图D18-2-5，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点A落在边CD上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为EF. 若A′C=2，则DF的长是（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
B
【例3】如图D18-2-6，将一个长宽分别为8，4的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是（ ）
A.
B. 2
C.
D. 2
D
3. 将矩形纸片ABCD按如图D18-2-7所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF. 若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
C
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第13课时 平行四边形的性质（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.
本课目标
知识重点
知识点一：平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线_______________.
互相平分
对点范例
1.如图18-13-1，在□ABCD中，已知AB=5 cm，AD=7 cm，BD=
10 cm，AC=8 cm，则AO=__________=__________cm，BO=__________=__________cm.
CO
4
DO
5
知识重点
知识点二：平行四边形的面积
平行四边形的面积=__________，平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积__________的四个部分.
底×高
相等
对点范例
2. 如图18-13-2，在□ABCD中，AB=4 cm，AC=6 cm，∠BAC=90°，则BD之长为__________，□ABCD的面积为______________.
10 cm
24 cm2
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-13-3，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC.
∴∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（ASA）.
∴OE=OF.
∠EAO＝∠FCO，
OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
思路点拨：根据平行四边形的性质可得到两个三角形全等，进而求证即可.
举一反三
1. 如图18-13-4，点E和点F分别在□ABCD的边BC和AD上，线段EF恰好经过BD的中点O. 求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠FDO＝∠EBO.
∵O为BD的中点，
∴OD=OB.
在△FOD和△EOB中,
∴△FOD≌△EOB（ASA）.∴DF＝BE.
∴AD-DF＝BC-BE，即AF＝CE.
∠FDO=∠EBO,
OD=OB,
∠FOD=∠EOB,
典例精析
【例2】如图18-13-5，已知□ABCD的对角线AC和BD交于点O，且AC+BD＝28，BC＝12，求△AOD的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO,AD＝BC＝12.
∵AC+BD＝28，
∴AO+DO＝ (AC+BD)＝14.
∴△AOD的周长为AO+DO+AD＝14+12＝26.
思路点拨：根据平行四边形的性质求得AO+DO和AD的长，即可求得△AOD的周长.
举一反三
2. 如图18-13-6，□ABCD的周长为26 cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长少3 cm，求AB，BC的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC.
∵△BOC的周长比△AOB的周长少3 cm，
∴（OA+OB+AB）-（OB+OC+BC）=3 cm，
即AB-BC=3 cm. ①
∵平行四边形ABCD的周长为26 cm，
∴AB+BC=13 cm. ②
由①和②，得AB=8 cm，BC=5 cm.
典例精析
【例3】如图18-13-7，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
（1）求OA的长；
（2）求□ABCD的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，OA=OC= AC.
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，
由勾股定理，得AC= =6.
∴OA= AC=3.
（2）S□ABCD=BC·AC=8×6=48.
思路点拨：先根据勾股定理求出AC的长，然后根据平行四边形的性质和平行四边形的面积公式求出OA的长和□ABCD的面积即可.
举一反三
3. 如图18-13-8，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AO∶BO=2∶3.
（1）求AC的长；
（2）求□ABCD的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO= AC.
∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°.
∵AO∶BO=2∶3，
∴设AO=2a，BO=3a.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AB2+AO2=BO2，即22+（2a）2=（3a）2.
解得a=
∴AO=2a=
∴AC=2AO=
（2）S□ABCD=AB·AC=2×
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第19课时 菱形（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行论证和计算.
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路.
本课目标
知识重点
知识点：菱形的判定
（1）有一组邻边相等的______________是菱形;
（2）__________________的平行四边形是菱形;
（3）______________的四边形是菱形.
平行四边形
对角线互相垂直
四条边相等
对点范例
1. 下列选项中，能使□ABCD成为菱形的是（ ）
A. AB=CD B. AB=BC
C. ∠BAD=90° D. AC=BD
B
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-19-1，在Rt△ABC中，
∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，
CE∥BD，BE与CE交于点E. 求证：四边
形BDCE是菱形.
证明：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形BDCE是平行四边形.
∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD= AC.
∴四边形DBEC是菱形.
思路点拨：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
举一反三
1. 如图18-19-2，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB. 求证：四边形ABFE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE.
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBE.
∴∠ABE=∠AEB. ∴AB=AE.
∴四边形ABFE是菱形.
典例精析
【例2】如图18-19-3，在□ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，且BD=6，AC=8，BC=5. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，AC=8，
∴BO= BD=3，CO= AC=4.
又∵BC=5，∴BO2+CO2=CB2.
∴∠BOC=90°. ∴BD⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
思路点拨：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
举一反三
2. 如图18-19-4，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF，与AD，BD，BC分别交于点E，O，F. 求证：四边形BFDE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD.
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.
∴△OED≌△OFB（AAS）.
∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形.
典例精析
【例3】如图18-19-5，E，F，G，H分别是矩形ABCD的各边中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
思路点拨：四条边相等的四边形是菱形.
证明：如答图18-19-1，连接BD，AC.
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵E，F，G，H分别是矩形ABCD的各边中点，
∴EF= AC，GH= AC，FG= BD，EH= BD.
∴EF=GH=FG=EH. ∴四边形EFGH是菱形.
举一反三
3. 如图18-19-6，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，E是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点. 求证：四边形AECF为菱形.
证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，
∴CE=AE= AB.
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE=AF，CE=CF.
∴CE=AE=AF=CF.
∴四边形AECF为菱形.
典例精析
【例4】（创新题）如图18-19-7，在矩
形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，点P从点
D出发向点A运动，同时点Q从点B向点C运
动，点P，Q的速度都是1 cm/s. 求经过
多少秒后，四边形AQCP是菱形.
解：设经过t s后，四边形AQCP是菱形，
则DP=BQ=t cm.
∴QC=BC-BQ=（8-t）cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8 cm，AD∥BC.
∴AD-DP=BC-BQ，即AP=QC.
∴四边形AQCP是平行四边形.
∴当AQ=QC=（8-t）cm时，四边形AQCP是菱形.
在Rt△ABQ中，由勾股定理，得
AB2+BQ2=AQ2，即42+t2=（8-t）2.
解得t=3.
∴经过3 s后，四边形AQCP是菱形.
思路点拨：先根据菱形的判定方法，得到当四边形AQCP为菱形时，四边形AQCP的邻边相等，进而结合勾股定理列方程求解即可.
举一反三
4. （创新题）如图18-19-8，已知△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连接AD，CF.
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=4 cm，△ABC沿着BE的方向
以每秒2 cm的速度运动. 设△ABC的运
动时间为t s，当t为何值时，□ADFC是
菱形？请说明你的理由.
（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，
∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°.
∴AC∥DF.
∴四边形ADFC是平行四边形.
（2）解：如答图18-19-2，当t=2 s时，□ADFC是菱形.
理由如下：
∵当点B与点D重合时，AD=AE=DF=EF=10 cm，
∴此时□ADFC是菱形.
∵△ABC沿着BE的方向以每秒2 cm的速度运动，
BD=4 cm，
∴t=4÷2=2（s）.
∴当t=2 s时，□ADFC是菱形.
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第14课时 平行四边形的判定（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 探索并掌握平行四边形的判定条件，理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法.
2. 能综合利用平行四边形的性质和判定方法来解决问题.
本课目标
知识重点
知识点：平行四边形的判定
（1）____________________的四边形是平行四边形；
（2）____________________的四边形是平行四边形；
（3）____________________的四边形是平行四边形；
（4）____________________的四边形是平行四边形；
（5）____________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
对点范例
如图18-14-1，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有哪几种？请一一写出：______________________________.（填序号）
①③或②④或①②或③④
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-14-2，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B+∠C
=180°. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD.
又∵∠A=∠C，∴∠B+∠A=180°.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
思路点拨：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
举一反三
1. 如图18-14-3，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD.
∴∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
【例2】如图18-14-4，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3. 求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB2=AC2+BC2.
∴∠BCA=90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=90°.
在Rt△ACD中，DC=5，AC=4，
由勾股定理，得AD= =3.
∴AD=BC.
又∵AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
思路点拨：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
举一反三
2. 如图18-14-5，在四边形ABCD中，AB=5，BC=x-5，DC=x-3，AD=11-x，BD=4，BD⊥BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△BCD中，BC=x-5，DC=x-3，BD=4，BD⊥BC，
由勾股定理，得CD2=BC2+BD2，
即（x-3）2=（x-5）2+42.
解得x=8.
∴BC=x-5=3，DC=x-3=5，AD=11-x=3.
∴AB=DC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
【例3】如图18-14-6，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F是AC上的两点，AE=CF，连接DE，BF，∠ADE=∠CBF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS）.
∴AD=BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∠DAE=∠BCF，
∠ADE=∠CBF，
AE=CF，
思路点拨：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
举一反三
3. 如图18-14-7，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AD=CB. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
证明：∵BE∥DF，
∴∠AFD=∠CEB.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS）.
∴DF=BE.
又∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形.
∠ADF＝∠CBE，
∠AFD＝∠CEB，
AD＝CB，
典例精析
【例4】如图18-14-8，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A=∠C，∠A+∠D=180°，
∴∠C+∠D=180°.
∵∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠D.
又∵∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形.
思路点拨：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
举一反三
4. 如图18-14-9，在四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，AB=CD，AE=CF，∠BAE=∠DCF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
∴∠B=∠D.
∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
∴∠BAD=2∠BAE，∠BCD=2∠DCF.
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠BAD=∠BCD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
AB＝CD，
∠BAE＝∠DCF，
AE＝CF，
典例精析
【例5】如图18-14-10，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
思路点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO.
在△ABO与△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（ASA）.
∴OA=OC.
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∠ABO＝∠CDO，
OB＝OD，
∠AOB＝∠COD，
举一反三
5. 如图18-14-11，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）.
∴OE=OF.
∵AE=CF，
∴OE+AE=OF+CF，即OA=OC.
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∠1＝∠2，
OB＝OD，
∠EOB＝∠FOD，
典例精析
【例6】如图18-14-12，在□ABCD中，点K为
AD中点，连接并延长BK交CD的延长线于点E，
连接AE，BD. 求证：四边形ABDE为平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠ABK=∠DEK，∠BAK=∠EDK.
∵K为AD中点，
∴AK=KD.
在△ABK与△DEK中，
∴△ABK≌△DEK（AAS）.
∴BK=EK.
又∵AK=KD，
∴四边形ABDE为平行四边形.
∠ABK＝∠DEK，
∠BAK＝∠EDK，
AK＝DK，
思路点拨：先根据平行四边形的性质得到等边和等角，再利用三角形的全等和平行四边形的判定方法证明即可.
举一反三
6. 如图18-14-13，AC是□ABCD的对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别为M，N，连接DM，BN. 求证：四边形BMDN是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB.
∴∠DAN=∠BCM.
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°.
∴DN∥BM.
在△ADN和△CBM中，
∴△ADN≌△CBM（AAS）.
∴DN=BM.
又∵DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∠DNA＝∠BMC，
∠DAN＝∠BCM，
AD＝CB，
典例精析
【例7】（创新题）如图18-14-14，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD=12 cm，点E在线段BO上从点B开始以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从O点开始以
2 cm/s的速度运动. 若点E，F同时运
动，且当点F运动到点D时，点E，F同
时停止运动. 设运动时间为t s，当t
为何值时，四边形AECF是平行四边形？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD= BD=6 cm，OA=OC.
当运动时间为t s时，由题意，得BE=t，OF=2t.
∴OE=OB-BE=6-t.
∵OA=OC，
∴当OE=OF时，四边形AECF为平行四边形.
∴6-t=2t. 解得t=2.
∴当t为2 s时，四边形AECF是平行四边形.
思路点拨：先根据平行四边形的性质与判定得到等式，然后建立方程求解即可.
举一反三
7. （创新题）如图18-14-15，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24 cm，BC=26 cm. 点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的
速度向点B运动. 规定其中一个动点到
达端点时，另一个动点也随之停止运动.
从运动开始，要使PQ∥CD，需经过多
少时间？
解：设从运动开始到PQ∥CD需经过t s（0≤t≤ ）.
由题意，得AP=t，CQ=3t.
∴PD=AD-AP=24-t.
∵AD∥BC，
∴当PQ∥CD时，四边形PDCQ为平行四边形.
∴PD=CQ.
∴24-t=3t. 解得t=6.
∴从运动开始，要使PQ∥CD，需经过6 s.
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第16课时 矩形（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
本课目标
知识重点
知识点一：矩形的定义
有一个角是__________的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
直角
对点范例
1. 如图18-16-1，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是______________.
∠A＝90°
知识重点
知识点二：矩形的性质
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是__________，对角线__________.
直角
相等
对点范例
DAB
ABC
BCD
CDA
CO
DO
BO
AC
2. 如图18-16-2，四边形ABCD是矩形，则∠__________=
∠__________=∠__________=∠__________=90°，AO=__________=__________=__________= __________=
__________.
BD
知识重点
知识点三：直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半.
斜边
对点范例
3.如图18-16-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，D为AB的中点，则CD=__________ cm.
5
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-16-4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若AB=8，BC=6，则OD的长为__________.
思路点拨：先根据勾股定理得到AC的长，
再根据矩形的性质即可得到OC的长.
5
举一反三
1. 如图18-16-5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAD=55°，则∠OBA的度数为__________.
35°
典例精析
【例2】如图18-16-6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若∠BOC=120°，AB=3，求BC的长.
解：∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=180°-∠BOC=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°.
∴AO=BO.
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=AB=3.
∴AC=2AO=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝ ＝3
思路点拨：根据矩形的性质，结合勾股定理进行计算即可.
举一反三
2. 如图18-16-7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=OA.
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=2，求矩形ABCD的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠BAD=90°.
∴OA=OB.
又∵AB=OA，∴AB=OA=OB.
∴△ABO是等边三角形. ∴∠ABD=60°.
（2）∵∠ABD=60°，∠BAD=90°，
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=30°.
∴BD=2AB=4.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD= =2
∴S矩形ABCD=AB·AD=2×2 =4 .
典例精析
【例3】如图18-16-8，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD边上，∠1=∠2. 求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
∴BE=DF.
∠1＝∠2，
AB＝CD，
∠B＝∠D，
思路点拨：根据矩形的性质，结合三角形的全等证明即可.
举一反三
3. 如图18-16-9，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别在AO，DO上，且AE=DF. 求证：∠EBO=∠FCO.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD.
∴OA=OB=OC=OD.
∵AE=DF，∴OA-AE=OD-DF，即OE=OF.
在△EBO和△FCO中，
∴△EBO≌△FCO（SAS）.
∴∠EBO=∠FCO.
OB＝OC，
∠EOB＝∠FOC，
OE＝OF，
典例精析
【例4】如图18-16-10，在Rt△ABC
中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中
线.若AC=6，BC=8，则CD的长是
（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
思路点拨：先根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解即可.
B
举一反三
4. 如图18-16-11，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线. 若∠A=36°，则∠DCB的度数是__________.
54°
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第十八章 平行四边形
本章知识梳理
第21课时 正方形（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解并掌握正方形的判定和推导过程.
2. 能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
本课目标
知识重点
知识点一：正方形的判定1（在矩形基础上判定）
（1）有一组邻边__________的矩形是正方形；
（2）对角线__________________的矩形是正方形.
相等
互相垂直
对点范例
1. 如图18-21-1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A. BD=AB
B. DC=AD
C. ∠ABC=90°
D. OD=OC
B
知识重点
知识点二:正方形的判定2（在菱形的基础上判定）
（1）对角线__________的菱形是正方形；
（2）有一个角是__________的菱形是正方形.
相等
直角
对点范例
2. □ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________________________________，使得□ABCD为正方形.
∠BAD＝90°(答案不唯一)
课堂演练
典例精析
【例1】如图18-21-2，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F落在边CD上，连接EF. 求证：四边形ADFE是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°.
由折叠的性质，得∠DFE=∠A=90°.
∴∠A=∠ADF=∠DFE=90°.
∴四边形ADFE是矩形.
又∵AE=AD，
∴四边形ADFE是正方形.
思路点拨：先证明四边形ADFE是矩形，再证明四边形ADFE是
正方形.
举一反三
1. 如图18-21-3，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），D（0，2）.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：由点A，B，C，D的坐标，得
OA=OB=OC=OD=2，AC=BD=4.
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形.
典例精析
【例2】如图18-21-4，在等腰直角三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. 求证：四边形AFDE是正方形.
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=90°，AB=AC.
∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DF∥AC，DF= AC；DE∥AB，DE= AB.
∴四边形AFDE为平行四边形，DF=DE.
∴四边形AFDE为菱形.
又∵∠A=90°，
∴四边形AFDE为正方形.
思路点拨：先证明四边形AFDE是菱形，再证明四边形AFDE是
正方形.
举一反三
2. 如图18-21-5，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC. 若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO= AC.
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
∵∠DAC=∠EAD+∠AED，∠ADB=∠EAD+∠AED，
∴∠ADB=∠DAC. ∴AO=DO.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO，DB=2DO. ∴AC=BD.
∴四边形ABCD是正方形.
典例精析
【例3】如图18-21-6，四边形ACDE为平行四边形，延长EA至点B，使EA＝BA，连接BD交AC于点F，连接BC.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BD＝DE，则当∠E为多少度时，四
边形ABCD是正方形 请说明理由.
（1）证明：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AE∥CD，AE＝CD.
∵EA＝BA，
∴BA∥CD，BA＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：当∠E＝45°时，四边形ABCD为正方形.理由如下：
∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AC＝DE,AC∥DE.
∵BD＝DE，∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
当∠E=45°时，∵BD=DE，
∴∠EBD=∠E=45°.
∴∠BDE=180°-∠EBD-∠E=90°.
∵AC∥DE，∴∠AFB＝∠BDE＝90°.
∴AC⊥BD.∴四边形ABCD是正方形.
思路点拨：（1）根据平行四边形的判定方法证明即可；（2）根据（1）得到的结论，结合正方形的判定方法解答即可.
举一反三
3. 如图18-21-7，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四
边形ADCF是正方形？请说明理由．
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB（AAS）.
∠AFE=∠DBE,
∠FEA=∠BED,
AE=DE,
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形.
理由：由（1）知△AEF≌△DEB，∴AF＝DB.
∵D是BC的中点，∴DB＝DC.∴AF＝DC.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝ BC.∴四边形ADCF是菱形.
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴四边形ADCF是正方形．
谢 谢
