新人教版高中数学必修第二册第六章 6.3.1　平面向量基本定理 学案

6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
学习目标　1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.(　×　)
提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底.
2.{0，e}可以作为基底.(　×　)
提示　由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底.
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(　×　)
提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.
4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　√　)
一、平面向量基本定理的理解
例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
答案　ACD
解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
跟踪训练1　已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
答案　3
解析　因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
由平面向量基本定理得所以
所以x－y＝3.
二、用基底表示向量
例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，.
解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
延伸探究　
1.本例中若取BC的中点G，则＝________.
答案　a＋b
解析　＝＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
所以＝＋＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
2.本例中若EF的中点为H，试表示出.
解　＝－＝－
＝－－，
因为＝b－a，
所以＝－b＋a－b＝a－b.
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________.
答案　a＋b　2a＋c
解析　以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，
再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c.
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为该平面其它向量基底的是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
答案　B
解析　易知与不共线，与不共线.
2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　　)
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
答案　A
解析　B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
3.给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.
其中，说法正确的为(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案　B
4.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　)
A.BD＝2CD B.BD＝CD
C.BD＝3CD D.CD＝2BD
答案　B
解析　由＝(＋)得2＝＋，
即－＝－，
即＝，∴BD＝CD.
5.如图， ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，，.
解　＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝＝a＋b.
＝－＝－a－b，＝＝b－a，
所以＝－＝a－b.
1.知识清单：
(1)平面向量基本定理.
(2)基底.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
1.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)
A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2
C.e1－3e2 D.3e1－e2
答案　C
2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
答案　A
解析　＝＝(－)＝(＋)
＝(5e1＋3e2).
3.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　)
A. B. C.3 D.
答案　A
解析　由题意可得，＝－＝－，
＝＋＝＋＝＋＝＋，
据此可知λ＝，μ＝，∴＝.
4.设{a，b}为基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)
A.2 B.－2 C.10 D.－10
答案　A
解析　＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b，
∵{a，b}为基底，∴解得λ＝，k＝2.
5.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是(　　)
A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－e2}
C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2}
答案　ABC
解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为______________.
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
7.已知λ1>0，λ2>0，{e1，e2}是一个基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________.(填“共线”或“不共线”)
答案　不共线　不共线
8.已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________.
答案　　－
解析　由条件可知解得
9.已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.试用a，b表示向量.
解　连接AG并延长，交BC于点D，
则D为BC的中点，
＝＝×(＋)
＝＋＝a＋b.
10.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2表示.
解　＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
11.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b
C.λa＋b D.a＋b
答案　D
解析　∵＝λ，
∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
12.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　)
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
答案　B
解析　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).
13.已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示)
答案　2a－2b
解析　设c＝λa＋μb，
则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)
＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2，
因为e1，e2不共线，
所以解得
故c＝2a－2b.
14.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
答案　a＋b
解析　＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
15.已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线.
(1)在△OAB中，若点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.
解　(1)∵＝2，∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.
(2)∵四边形OABP为平行四边形，
∴＝＋，
又∵＝m＋，
∴－＝m＋，
依题意，是非零向量且不共线，
∴m＝－1.
16.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
解　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ，μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ.
在Rt△OCM中，∵||＝2，
∠COM＝30°，∴∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4，
又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.