新人教版高中数学必修第二册第六章 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学案

6.3.4　平量数乘运算的坐标表示
学习目标　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　×　)
提示　当y1y2＝0时不成立.
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　×　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　√　)
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.(　√　)
一、平面向量数乘运算的坐标表示
例1　(1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于(　　)
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
答案　A
解析　b＝2a＋b－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2).
(2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于(　　)
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
答案　D
解析　＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1).
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
二、向量共线的判定
例2　下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
答案　D
解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，
∴a∥b.
反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
答案　B
解析　A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；
B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；
D选项，2×－(－3)×＝0，
∴e1∥e2，不可以作为基底.
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
答案　－3
解析　由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
(2)已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)，
所以向量＝2(1－(－1)，－1－2)＝(4，－6)，
又因为与向量a＝(λ，1)共线，
所以4×1＋6λ＝0，
解得λ＝－.
反思感悟　利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A.－1或 B.1或－
C.－1 D.
答案　D
解析　非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，
∴m＝.
(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
答案　－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由题意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合题意舍去).
定比分点坐标公式及应用
典例　(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解　设P(x，y).
∵＝(x－x1，y－y1)，
＝(x2－x，y2－y)，
＝λ，
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
∴
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标.
解　∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为，
∵＝2，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，
由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为.
[素养提升]　(1)用有向线段的定比分点坐标公式可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
1.下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C.a＝，b＝(10,5)
D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
答案　B
解析　若a与b(b≠0)共线，
则存在实数λ使得a＝λb，
经过验证，只有B满足条件，b＝－2a.
2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　)
A.2 B.－2
C.3 D.－3
答案　D
解析　因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3.已知＝(4,1)，＝(－1，k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　)
A.4 B.－4 C.－ D.
答案　C
解析　因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以4k＋1＝0，即k＝－.
4.与a＝(12,5)平行的单位向量为(　　)
A.
B.
C.或
D.
答案　C
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________.
答案　－
解析　因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
所以由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
解得λ＝－.
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2,2)，e2＝(1,1)
B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1,0)，e2＝(0，－1)
D.e1＝(1，－2)，e2＝
答案　C
解析　选项C中，e1，e2不共线，可作为一个基底.
2.如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　)
A.±2 B.－2 C.2 D.0
答案　B
解析　∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)，∴
解得或(舍去).
3.下列向量中，与向量c＝(2,3)不共线的一个向量p等于(　　)
A.(5,4) B. C. D.
答案　A
解析　因为向量c＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A中向量与c不共线.
4.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A.(1,2) B.(－1，－2)
C.(－1,2) D.(1，－2)
答案　A
解析　a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2).
5.向量a＝(1，－2)，a∥b，则b可能是(　　)
A.(4,8) B.(8,4)
C.(－4，－8) D.(－4,8)
答案　D
解析　由a∥b可排除A，B，C.
6.已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
答案　(3,5)　(－2，－2)
解析　由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，
所以a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2).
7.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).若A，C，D三点共线，则k＝________.
答案　4
解析　因为＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，
所以＝＋＝(10，k＋1)，
又因为A，C，D三点共线，所以∥.
所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.
8.已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
答案　
解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，
∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7).
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，
∴x2＝4，y2＝，即D，
则＝.
9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值.
解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
因为ma＋4b与a－2b共线，
所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2.
10.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
解　设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y).
解得x＝－1，y＝－2，
∴P(－1，－2).
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y).
解得x＝7，y＝－6，
∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
11.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　由a∥b，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝.
12.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案　C
解析　由于p＝ma＋nb，即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，
所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，
解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.
13.(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3,7)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)
B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)
D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)
答案　ABD
解析　因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来.
14.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A.k＝－2 B.k＝
C.k＝1 D.k＝－1
答案　C
解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
15.已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
解　设P(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3).
因为＝(3,1)，＝(5,7)，所以＝＋λ
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以所以
所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ).
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上.
(2)当点P在第三象限时，有成立，
解得λ<－1.
所以实数λ的取值范围是(－∞，－1).
16.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
解　设P(x，y)，
则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，
＝(4,0).
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由与共线得(5λ－4)6＋12λ＝0.
解得λ＝，∴＝＝，
又＝＋＝(1,0)＋＝，
∴点P的坐标为.