沪科版数学八年级下册 17.5 一元二次方程的应用教案

一元二次方程的应用
之面积问题
【教学目标】
知识与技能
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2、能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理。
过程与方法
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感、态度和价值观
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
通过一题多解体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力
【教学重点与难点】
重点： 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．。
【教学方法】引导学习法
【教具准备】PPT课件。
【课时安排】1课时

【教学过程】
基础引入，激发兴趣
同学们，今天我们继续学习一元二次方程的应用，列方程解应用题的一般步骤是：审，设，列，解，验，答。这节课我们解决面积类应用题。
列代数式：(PPT课件展示)
如图，在长a米,宽b米的矩形地面上,修一条宽为1米的小路,其余的面积种草坪,问草坪的面积是多少
（图1） （图2）
2、如图在长a米,宽b米的矩形地面上,修一条宽为1米的小路（小路任何地方的水平宽度都是相等）其余的面积种草坪,问草坪的面积是多少
例题讲解
下面我们一起用这种方法解决面积类的问题
例1. 在一块宽20m,长32m的长方形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把这块空地分成大小一样的6块,建成小花坛。如图，要使花坛的总面积为570平方米（图中长度的单位：m）,问:小路的宽应是多少
分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关。可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边），让花坛拼成一个整体计算。
解：设小路的宽为x米，根据题意，得
（32-2x）（20-x）=570
整理，得：x2-36x+35=0
解得：
∵32-2x>0 20-x>0
∴0当x=35时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去．
答：道路的宽为1米．
例1课本是另一种解法，同学们课后看看。
变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，用x表示草坪面积，并指出x的取值范围。
变式一 变式二
图1中有两条横向、两条纵向小路，可以仿照例1的方法将小路移到一边，让草坪拼在一起。
变式一：长为32-2x)米 宽为(20-2x)米
面积：（32-2x) (20-2x)平方米
x的取值范围0＜x＜10
图2找学生回答
长为（32-x)米 宽为(20-x)米
面积：（32-x) (20-x)平方米
x的取值范围0＜x＜20
归纳：图形面积的转化：
平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法。其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，然后根据面积列出一元二次方程。
变式2：如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
(
A
B
C
D
)解:设小路宽为x米，则
（20+2x）(15+2x)=246+20×15
整理，得
2x +35x-123=0
(x-3)(2x+41)=0
∴x1=3,x2=-41/2(舍去）
答:小路的宽为3米.
例2 ：有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？
分析：
设花圃的宽AB为x米，BC=（24-3x）米由矩形面积列出函数解析式，根据BC的实际意义既要大于0又要不大于墙的长度.
解：设垂直于墙的一条边AB长为x米，则与墙平行于BC边长为(24-3x)米，根据题意，得
x（24-3x）=45
化简得：x2-8x+15=0
解得：x1=3，x2=5
∵0＜24-3x≤10
(
F
) (
E
)∴x的取值范围：≤x＜，x=5
答：AB的长5米.
变式：如图：某农户准备利用一面墙MN（MN最长可利用25cm)围成一个矩形区域养鸡，且平行于墙的一面要开一道2m宽的门（图中CD=2m）,现有总长为48m的材料，请你设计一种方案，能够使所围成的区域的面积为300m 。
解：设垂直于墙的一边AB=x 米，则BE=48+2-2x = (50-2x )m ，
根据题意，得
X(50-2x)=300
解得
X1=15,x2=10(不合题意，舍去）
答：当垂直于墙的一边长为15m时，所设计的方案符合要求。
三、小结：
1、解面积问题的应用题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，再根据几何图形的面积以及它们之间的数量关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题。　
　 2、要仔细审题，理解题意中的已知条件，并结合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。
3、面积类问题的基本模型有三种，见PPT
四、作业
同步练习17.5（一）、（二）
(
1
)