第1课时 直线与直线、直线与平面的夹角
[教材要点]
要点一 空间两直线的夹角
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈________，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉________或________，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝________，
当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cos θ＝________．
要点二 直线与平面的夹角
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sin θ＝|cos 〈l，n〉|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)直线与平面的夹角都是锐角．( )
(3)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( )
(4)当直线与平面的夹角为0°时，说明直线与平面平行．( )
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
3．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．
4．已知直线l的方向向量为s＝(1，0，0)，平面π的法向量为n＝(2，1，1)，则直线与平面夹角的正弦值为__________．
题型一 直线间的夹角
例1 如图所示，在三棱柱OAB O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．
方法归纳
求异面直线的夹角，用向量法比较简单，若用基向量求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标系求解，一定要将每个点的坐标写正确．
跟踪训练1 如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．
题型二 直线与平面间的夹角
例2 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．
方法归纳
求直线与平面所成角的步骤
1．分析图形关系，建立空间直角坐标系；
2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n；
3．求出夹角〈a，n〉；
4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
跟踪训练2 在正方体ABCD A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．
题型三 线面角的综合问题
例3 如图，在四棱锥P ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC＝AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．
方法归纳
根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐标系，本题建系是解决线面角的关键所在．
跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
[课堂十分钟]
1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．－
3.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱CD、BC的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2，0)，则两条直线夹角的余弦值为________．
5．已知三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)求异面直线CM与SN的夹角；
(2)求SN与平面 CMN的夹角．
第1课时 直线与直线、直线与平面的夹角
新知初探·课前预习
要点一
相等 互补 〈a，b〉 |cos 〈a，b〉|
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.
答案：C
3．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－
∴l1，l2夹角的余弦值为
故选B.
答案：B
4．解析：∵cos 〈s，n〉＝＝＝＞0，故〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin()＝cos 〈s，n〉＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O xyz，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)
，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－).
∴|cos 〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.
答案：
跟踪训练1 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a).
∴＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0)，
∴cos 〈，〉＝
＝＝－
∴〈，〉＝，∴异面直线BA1和AC的夹角为.
答案：
例2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，()
则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，
C1(-)，B1(0，a，a)，
则＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，x，y)，则n·＝0，且n·＝0，
∴ax＝0，且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0，0).
又＝(-)，
∴cos 〈，n〉＝＝＝－.
设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝，
∴θ＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
跟踪训练2 解析：如图，建立空间直角坐标系D xyz，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).所以A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1B1＝(0，1，0).设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由
知即
所以
故可取n＝(1，0，－1).
故cos 〈，n〉＝＝，
所以〈，n〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
例3 解析：(1)证明：∵AP⊥平面PCD，CD 平面PCD，∴AP⊥CD，
∵AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，则BC∥DE且BC＝DE.
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∴AP⊥BE.
又∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD，且E为AD的中点，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC，又AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.
∵PO 平面APC，∴BE⊥PO.
∵AP⊥平面PCD，PC 平面PCD，∴AP⊥PC，
又AC＝AB＝AP，∴△PAC为等腰直角三角形，
∵O为斜边AC上的中点，∴PO⊥AC且AC∩BE＝O，
∴PO⊥平面ABCD
(2)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz，如图所示．
不妨设OB＝1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－2，1，0)，
则＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(－2，1，－1).
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
即
令z＝1，得n＝(1，3，1).
设BC与平面PBD所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝.
跟踪训练3 解析：(1)证明：方法一：如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，
A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，
又A1E∩A1F＝A1，
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
方法二：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，
所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，
B(，1，0)，B1(，3，2)，
F()，C(0，2，0).
因此，＝()，
＝(－，1，0)，
由·＝0，得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得＝(－，1，0)，
＝(0，2，－2).
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取n＝(1，，1)，
故sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
[课堂十分钟]
1．解析：∵cos 〈a，n〉＝＝＝，
∴直线l与平面α夹角的正弦值为，余弦值为 ＝.故选D.
答案：D
2．解析：∵A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)，
∴＝(0，－2，2)，＝(0，1，2)，
||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos 〈，〉＝＝＝，
∴直线AB1与ED1夹角的余弦值为.故选A.
答案：A
3．解析：建立以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D1 xyz，设正方体棱长为1，则：A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E(0，，1)，设平面D1B1E的法向量为n＝(x，y，z)
则 ∴
解得n＝(1，－1，)
又＝(0，1，－1)
设直线AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为θ
故可得sin θ＝|cos 〈n，〉|＝
故可得AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为.
故选B.
答案：B
4．解析：据题意知cos 〈a，b〉＝＝＝＝.
答案：
5．解析：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，
M(1)，N()，S()
(1)证明：＝(1)，
＝().
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.故异面直线CM与SN的夹角为90°.
(2)＝()，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则n·＝0，n·＝0，
即令x＝2得n＝(2，1，－2)，
因为|cos 〈n，〉|＝||＝，所以SN与平面CMN的夹角为45°.第3课时 空间中的距离问题
[教材要点]
要点一 点到平面的距离
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝________．
要点二 点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上的任意一点，则点P到直线l的距离为：d＝________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．( )
(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．( )
(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．( )
(4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．( )
2．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A． B．
C． D．
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为________．
题型一 点到直线的距离
例1 在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
方法归纳
利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．
跟踪训练1 四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
题型二 点到平面的距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
方法归纳
利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
跟踪训练2 已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离．
题型三 线面距与面面距
例3 如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
方法归纳
(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
跟踪训练3 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
易错辨析 考虑问题不全面致误
例4 线段AB在平面α内，AC⊥α，BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
解析：当C，D在平面α的同侧时，由AC⊥α，AB α可知AC⊥AB.
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，则 ∠DBD1＝30°，〈〉＝120°，
∴||2＝||2＝＋＋＋2·＋2·＋2·
＝b2＋a2＋b2＋2b2cos 120°＝a2＋b2.
∴||＝
当C，D在平面α的异侧时，〈〉＝60°，
同理可以求出||＝.
所以||＝或
【易错警示】
易错原因 纠错心得
因C，D两点相对平面的位置不同，会出现点C，D在平面α的同侧和异侧两种情况，在解题的过程中易忽略分类讨论而导致出错． 本题容易出现只考虑点C，D在平面α的同侧的情况，而忽略两点位于平面α异侧的情况，出现漏解，对于此类问题，应注意考虑全面．
[课堂十分钟]
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A． B． C． D．3
2．已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，－1)，C(0，－1，2)，则点C到直线AB的距离为( )
A． B． C． D．
3．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A．a B．a C．a D．a
4．已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．
5．在如图所示的空间直角坐标系中，长方体ABCD A′B′C′D′的棱AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别为A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．
第3课时 空间中的距离问题
新知初探·课前预习
要点一
|·n0|
要点二
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直，
∴n的单位向量n0＝.
又∵l经过点A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)，
∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝.
∴点P到l的距离为.故选B.
答案：B
3．解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
∴n0＝.
又点A(－1，3，0)在α内，∴＝(－1，－2，4)，
∴点P到平面α的距离为|·n0|＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
∴＝＝(－a，0，a)．
∴||＝|＝a.
∴点A1到BC1的距离
d＝
＝＝a.
答案：a
题型探究·课堂解透
例1
解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)．所以直线EF的方向向量＝(1，－2，1)；取直线EF上一点F(1，0，2)，则点A(2，0，0)到直线EF上一点F(1，0，2)的向量＝(－1，0，2)．
因为在上的投影为·＝，
所以点A到直线EF的距离d＝＝.
跟踪训练1
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，＝(0，－4，4)．
＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)，
∴·＝16，
∴在上的投影的长度为＝＝2.
所以点B到直线PD的距离为
d＝＝＝2.
例2 解析：
以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得∴
令y＝1，则n＝(－1，1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝.
跟踪训练2
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则＝(－4，6，0)，＝＝＝(0，6，0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即，取x＝1，
解得n＝.
∴点B1到平面A1BC1的距离d＝＝.
例3
解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
即即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝＝(0，0，2)，
∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
跟踪训练3
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即.
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
[课堂十分钟]
1．解析：两平面的一个单位法向量为n＝，故两平面间的距离为d＝|·n|＝.
答案：B
2．解析：由题意，可得＝(1，1，－1)，＝(－1，－1，2)，
cos 〈〉＝＝＝－，
∵〈〉∈，∴sin 〈〉＝，
所以点C到直线AB的距离d＝||·sin 〈〉＝.
答案：A
3．解析：
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(a，0，a)，
A(a，0，0)，M，B(a，a，0)，
∴＝
＝.
设n＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，
则∴∴
令y＝1，得n＝(－1，1，2)．
又＝(a，0，a)，
故点A1到平面MBD的距离为d＝＝a.
答案：A
4．解析：∵＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
答案：
5．解析：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1，1，0)，＝.
所以点M到直线AC的距离
d＝＝＝.第2课时 两个平面所成的角
[教材要点]
要点 两个平面所成的角
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α l β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补．
则cos 〈n1，n2〉＝________________．
状元随笔 当〉≤时，两个平面的夹角θ＝〉，此时cos θ＝〉＝
当〉≤π时，
两个平面的夹角θ＝〉，
此时，cos θ＝〉)＝〉＝.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n1，n2〉＝.( )
(2)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．( )
(3)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角大小等于60°或120°.( )
2．三棱锥A BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，若〉＝，则二面角A BD C的大小为( )
A． B． C．或 D．或
3．若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3，1，3)，则平面α与β所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________.
题型一 两个平面所成的角
例1 如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值．
方法归纳
利用法向量求二面角的大小的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系．
2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．
3．求出两个法向量的夹角的余弦值．
4．确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角．
跟踪训练1 PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A PB C的余弦值．
题型二 夹角的综合问题
例2 如图，在四棱锥P ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝，PD⊥BC.若底面ABCD是菱形，PA与平面ABCD所成的角为，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
方法归纳
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键．
跟踪训练2
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．
易错辨析 混淆二面角与面面角的大小
例3 已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a)．
设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有
和.
取n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)，则cos 〈n1，n2〉＝＝，
故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B－PC－D，得到错解：求得，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B－PC－D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－. 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是[0，]，不要将两者混淆了． 求二面角θ的大小时，通过求二面角两个半平面的法向量的夹角φ，把问题转化为向量的运算，需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补，在解题中，可根据法向量的方向来进行判断，以便准确求出二面角的大小．一般地，如果二面角为锐角，cos θ＝|cos φ|＝；如果二面角为钝角，cos θ＝－|cos φ|＝－(u，v为二面角两个半平面的法向量)．
[课堂十分钟]
1．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．或－
2．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线BC1与A1B1所成角为________；二面角A BC1 C的余弦值是________．
4．如图所示，在多面体A1B1D1 DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)证明：EF∥B1C.
(2)求二面角E A1D B1的余弦值．
第2课时 两个平面所成的角
新知初探·课前预习
要点
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√
2．解析：因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补，由于从图形中无法判定二面角A BD C是锐角还是钝角，所以二面角A BD C的大小为或.故选C.
答案：C
3．解析：因为n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.故选D.
答案：D
4．解析：
建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则A1D＝(2，0，－2)，A1E＝(0，2，－1)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则则即
令y＝1，得n＝(2，1，2)．
易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，
则cos 〈n，m〉＝＝.
设平面A1ED与平面ABCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A xyz，
则S(0，0，1)，D，C(1，1，0)，
B(0，1，0)，
∴＝＝(1，1，－1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1，1)．
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1，0，0)，
∴cos 〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝.
跟踪训练1
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(，1，0)．
设平面PAB的法向量为＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝1，则＝(1，－，0)．
＝(0，－1，1)，＝(，0，0)．
设平面PBC的法向量为＝(x2，y2，z2)，
由，得
令z2＝1，则＝(0，1，1)．
〉＝＝＝－.
∵所求二面角为锐角，∴二面角A PB C的余弦值为.
例2 解析：过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，平面PBC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角，
即∠PAE＝，且DE⊥BC，DE⊥PE.
设PE＝a，则AE＝a，PA＝2a.在△DEC中，设DE＝m，
则EC＝m，DC＝m，
所以在Rt△EDA中，(a)2＝m2＋(m)2，所以m＝a.
以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(a，0，0)，A(a，a，0)，P(0，0，a)，则平面PBC的一个法向量为a＝(1，0，0)．
设平面PAD的一个法向量为b＝(x，y，z)，因为＝(－a，－a，a)，＝(0，－a，0)，
所以取x＝1，则b＝(1，0，1)．
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
跟踪训练2 解析：
(1)如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．
易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)易得＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，
消去x，得y＋2z＝0，
令z＝1，可得m＝(－3，－2，1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，
所以B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是〉＝＝＝－，
从而〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
[课堂十分钟]
1．解析：由＝＝，
知这两个平面夹角的余弦值为，故选A.
答案：A
2．解析：
如图所示，建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，∴＝(0，1，0)．取PD的中点E，
则E，
∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cos 〈〉＝，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.故选B.
答案：B
3．解析： 直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC
如图以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，C，C1，B1，A1
＝＝＝，
〉
＝＝
所以异面直线BC1与A1B1所成角为；设平面ABC1的法向量为n＝
则即令y＝1，则n＝
显然平面CBC1的一个法向量为m＝，cos 〈n，m〉＝＝＝
故二面角A BC1 C的余弦值是.
答案：
4．解析：(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D 面A1DE，B1C 面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C 面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.
(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.
设面A1DE的法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝，＝(0，1，－1)，由n1⊥．
n1⊥得r1，s1，t1应满足的方程组(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1)．
设面A1B1CD的法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E A1D B1的余弦值为＝＝.
