第二章 圆锥曲线 章末复习课 学案（Word版含答案）

第二章　章末复习课
题型一　定点问题
例1　设椭圆C：＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
方法归纳
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
跟踪训练1　已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
题型二　定值问题
例2　已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ＝μ，求证：为定值．
方法归纳
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．
跟踪训练2　已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点E(a，b)在抛物线N：x2＝y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且线段EF的中点恰为F2.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)过抛物线N上一点P且与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A，B两点，设AB的中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．
题型三　最值问题
例3　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－2，0)．过点A作直线l交椭圆C于另一点D，交y轴于点E，点O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，⊥恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3)过O点作直线l的平行线与椭圆C相交，M为其中一个交点，求的最大值．
方法归纳
构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．
跟踪训练3　顺次连接椭圆C：＝1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为4的菱形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点A，过点O作OM⊥l，垂足为M，求△AMO面积的最大值．
题型四　范围问题
例4　抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2.
(1)若l与C相切，求直线l的方程；
(2)若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．
方法归纳
范围问题的解题策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：
1．利用判别式或几何性质来构造不等式，从而确定所求范围；
2．利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出所求范围；
4．利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
5．利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定所求范围；
6．利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围．
跟踪训练4　已知椭圆C：＝1(a>b>0)，四点P1(2，0)，P2()，P3(1，)，P4(－1，)中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过左焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．
章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意知解得：
故椭圆C的方程是＝1.
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.①
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－)，由得N(4，4k＋m)．
假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．
设P(x1，0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立．
因为＝(－－x1，)，＝(4－x1，4k＋m)，由·＝0，
得＋＋3＝0，
整理得
解得x1＝1.
故存在定点P(1，0)，使得以MN为直径的圆恒过点P.
跟踪训练1　解析：(1)根据题意知，4＝2py0，①
因为|AF|＝2，所以y0＋＝2.②
联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.
(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)
由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
根与系数的关系．得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③
由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，
则由A，P，B三点共线，得＝，
整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.
将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.
由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2，3)．
例2　解析：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．
从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线PA的方程为y－2＝(x－1)．
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2
由＝λ＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN
所以＝＝
＝·＝·＝2
所以为定值．
跟踪训练2　解析：(1)由题意知F恰为(0，－b)
所以c＝，因为a2＝b2＋c2，所以a2＝b2　①
又点E(a，b)在抛物线N：x2＝y上，所以a2＝b　②
由①②得a＝2，b＝，
所以椭圆M的标准方程为＝1.
(2)设P(t，)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为y＝x2，所以y′＝x，
则直线AB：y＝(x－t)＋t2.
将直线AB的方程代入＝1得，
12(1＋t2)x2－12t3x＋3t4－48＝0，
所以x1＋x2＝，y1＋y2＝(x1＋x2)－＝.
所以点C(，－)，
所以k1＝，k2＝－，
所以k1k2＝－.
例3　解析：(1)∵左顶点为A(－2，0)，∴a＝2
又∵e＝，∴c＝，
又∵b2＝a2－c2＝2，∴椭圆C的标准方程为＝1.
(2)由已知，直线l的斜率必存在，直线l的方程为
y＝k(x＋2)，
联立得，(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
设D(x1，y1)，A(x2，y2)，则x1＋x2＝，
又P为AD的中点，所以xP＝，
又因为点P在直线AD上，则yP＝k(xP＋2)＝，
即点P的坐标为()，
又直线l的方程为y＝k(x＋2)，
令x＝0，得点E的坐标为(0，2k)，
假设存在定点Q(m，n)使得⊥，则·＝0，
①若k＝0，＝0显然恒成立；
②若k≠0，因为·＝0，所以(2m＋2)k－n＝0
恒成立，
则，即
即定点Q的坐标为(－1，0)．
综上，存在定点Q(－1，0)满足题意．
(3)∵OM∥l，∴OM的方程可设为y＝kx，
由得M点的横坐标为x＝±
由OM∥l，得
＝＝＝＝＝()≥2＝2，当且仅当＝即k＝±时取等号，
∴当k＝±时，的最小值为2.
故的最大值为.
跟踪训练3　解析：(1)由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为＝1；
(2)显然直线l斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋t，联立，得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，
且△＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－12)＝0，得t2＝4k2＋3，
所以xA＝＝－，
联立，得xM＝－，所以|OM|＝·＝，
则|AM|＝·＝·＝，
所以S△AMO＝|AM|·|OM|＝··
＝·＝·，
故△AMO面积最大值为，当且仅当k＝±1时成立．
例4　解析：(1)设直线l的方程为y＝2x＋b.
联立可得x2－2x－b＝0，
所以Δ＝4＋4b＝0，所以b＝－1，
所以直线l的方程为y＝2x－1.
(2)设直线l的方程为y＝2x＋b，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
联立可得x2－2x－b＝0
所以Δ＝4＋4b>0，b>－1，
x1＋x2＝2，x1x2＝－b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝2，
因为AB的中点为(1，2＋b)，
所以直线PQ的方程为y＝－x＋＋b，
联立可得x2＋x－－b＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－－b，
所以|PQ|＝|x3－x4|＝，
＝＝>，
所以的取值范围为(，＋∞)．
跟踪训练4　解析：(1)由椭圆的对称性，点P3，P4在椭圆上，代入椭圆，可得＝1，
若点P2()在椭圆上，
则有＝1，联立无解，
所以点P1(2，0)在椭圆上，代入椭圆，可得a2＝4，
代入＝1中，解得b2＝3，
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由(1)可知F1(－1，0)，
设直线AB的方程为，
y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，
消y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
且Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)
＝48(4k2＋3－m2)>0①
由题意可知，
2k＝＝＝，
化简整理，可得(m－k)(x1＋x2＋2)＝0，
若m－k＝0，则直线AB的方程为y＝k(x＋1)，过点F1(－1，0)，不满足题意，
所以x1＋x2＋2＝0，即－＋2＝0，
化简可得，m＝k＋，
代入①中得，4k2＋3>(k＋)2，
整理可得16k4＋8k2－3>0，
解得k2>，
所以直线l的斜率k的取值范围为k>或k<－.