第一章 直线与圆 章末复习课（含答案）

?第一章 章末复习课
一、直线方程的求法及应用
求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)．
(1)若点C的坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．
跟踪训练1　已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
二、两条直线的位置关系
解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
例2　(1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
跟踪训练2　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________．
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________．
三、距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型 已知条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝
点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) d＝(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2) d＝
例3　直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
跟踪训练3　已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程．
四、对称问题
1．关于点的对称问题
(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P是线段AB的中点，并且
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：
①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；
②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；
③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则P是线段AB的中点．
2．关于直线的对称问题
(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线．
①直线AB与直线l垂直；
②线段AB的中点在直线l上；
③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等．
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则
①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；
②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则P是线段AB的中点．
例4　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
跟踪训练4　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
五、求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
例5　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．
跟踪训练5　已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．
六、直线与圆、圆与圆的位置关系
圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边解题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
例6　有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程．
跟踪训练6　已知圆C经过M(1，0)，N(2，1)两点，且圆心C在直线x＋2y－2＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(0，1)的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．
七、与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题包括：
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
(3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．
例7　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)x－2y的最大值和最小值．
跟踪训练7　已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．
章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，∴AB边上的高所在的直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，
∴C(2，1)，∴kBC＝＝1，
∴边BC所在的直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
跟踪训练1　解析：(1)由题意知AC边上的高所在直线的斜率为，
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.
由求得故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.
把点M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，可得
求得，故点B.
再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.
例2　解析：(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝.
所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
答案：(1)－1　(2)
跟踪训练2　解析：(1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，
∴a＝－3.
(2)kAC＝＝－，kBC＝＝1－y.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
∴－(1－y)＝－1，∴y＝－.
答案：(1)－3　(2)－
例3　解析：当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，
∴y＝x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
跟踪训练3　解析：当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为－＝1，即x－y－a＝0.由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去).
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
例4　解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得.
所以P′(－2，7).
(2)法一：联立方程组解得
所以直线l1与l的交点为.
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2，0)，过点(2，0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则解得
即交点坐标为.
又点(2，0)关于点对称的点的坐标为，
所以过两点，的直线方程为＝，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
法二：在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则
解得
又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.
所以－－2＝0，
即 7x′＋y′＋22＝0.
所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0，3)，则该点关于点A(3，2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′).
则解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
跟踪训练4　解析：(1)设A′(x，y)，
由已知解得
所以A′.
(2)在直线m上取一点M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上，
设M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4，3).
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
例5　解析：由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
则
解得或
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
跟踪训练5　解析：(1)由解得两直线的交点为(2，1)，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点(2，1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则
解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
例6　解析：设圆心为C，则CA⊥l.
又设直线CA与圆的另一个交点为P.
∵CA⊥l，∴直线CA的斜率为－，故直线CA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
即点P的坐标为(7，3).
∵圆心C为AP的中点，
∴圆心C的坐标为，半径长|CA|＝，
∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋＝.
跟踪训练6　解析：(1)线段MN的中垂线方程为x＋y－2＝0，
由得圆心C的坐标(2，0)，所以半径r＝1，
圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，
∵CA⊥CB, ∴C到AB的距离为，即＝，
解得k＝－1或k＝－，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或7y＋x－7＝0.
例7　解析：法一　(1)设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，
即|2－3k|≤，
平方得到8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴则圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，
即|b＋2|≤，
则－2－≤b≤－2，
即x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.
法二　(1)可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率．
令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
此时＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即y＝x－，当y＝－x－与圆相切时，纵截距－取得最值，从而b取得最值，此时＝1，解得b＝－2±.
故x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.
跟踪训练7　解析：法一　设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，
∵d≤r，即≤，∴6－2≤t≤6＋2，
∴x＋y的最小值为6－2，最大值为6＋2.
法二　设x＋y＝b，即y＝－x＋b.当y＝－x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝6±2.
故x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.