第15章　概率 单元检测（Word版含解析）

第15章　概率 单元检测
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.10个小球分别编号为1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2个,3号球3个,4号球1个,数0.4是指1号球占总体分布的 (　　)
A.频数 B.频率 C. D.累积频率
2.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)等于 (　　)
A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1
3.从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,现有下列事件:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的为 (　　)
A.① B.②④ C.③ D.①③
4.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个,若它是肉馅包子的概率为,它不是豆沙馅包子的概率为,则素馅包子的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任取一个数,则这两个数之和等于4的概率是 (　　)
A. B. C. D.
6.连续掷两次骰子分别得到点数m,n,则向量a=(m,n)与向量b=(-1,1)的夹角θ大于90°的概率是 (　　)
A. B. C. D.
7.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的、重要的发明,在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为3部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、……,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠(上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠,下珠只能往上拨),则算盘表示的整数能被3整除的概率是 (　　)
A. B. C. D.
8.某商场对某商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.设x为这种商品每天的销售量,y为该商场每天销售这种商品的利润,从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为 (　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,分成了一等品、合格品和不合格品三个等级,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂从生产的产品中随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是 (　　)
A.P(B)= B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)
10.抛掷一颗骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D的判断正确的有 (　　)
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
11.下列各对事件中,为相互独立事件的是 (　　)
A.掷一颗骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
12.一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　　)
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围,某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛,根据以往的经验知,甲队获胜的概率是,两队打平的概率是,则这次比赛乙队不输的概率是　　　　.
14.袋子中有四个小球,分别写有“和、平、世、界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下24组随机数:
232　321　230　023　123　021　132　220　011
203　331　100　231　130　133　231　031　320
122　103　233　221　020　132
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为　　　 .
15.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图形,结构是“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数”.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从五个“阳数”中随机抽取3个数,则能使这三个数之和等于15的概率是　　　　.
16.甲、乙两人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,,,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,,,甲、乙两人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则两人命中同色区域的概率为　　　　,两人命中不同色区域的概率为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)某电脑公司现有A,B,C三种型号的甲品牌电脑和D,E两种型号的乙品牌电脑,希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑.
(1)写出所有选购方案;
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么A型号电脑被选中的概率是多少
18.(本小题满分12分)计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
19.(本小题满分12分)如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作,系统N1,N2正常工作的概率分别为P1,P2.
(1)若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8,求P1,P2;
(2)若元件A、B、C正常工作的概率都是p(020.(本小题满分12分)某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
(1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游
(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上表中满意度为“不满意”的自助游人群中,随机抽取2人征集意见,求这2人中有老年人的概率;
(3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目
21.(本小题满分12分)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则称该学生的选考方案待确定.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
男生 选考方案确 定的有8人 8 8 4 2 1 1
选考方案待 确定的有6人 4 3 0 1 0 0
女生 选考方案确 定的有10人 8 9 6 3 3 1
选考方案待 确定的有6人 5 4 1 0 0 1
(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数;
(2)假设男、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8名男生和10名女生中各随机选出1人,试求该男生和女生的选考方案中都含有历史学科的概率.
22.(本小题满分12分)某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众,按他们的年龄(单位:岁)分组:第1组[20,30),第2组[30,40),第3组[40,50),第4组[50,60),第5组[60,70],得到的频率直方图如图所示.
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访,求被采访人恰好在第2组或第4组的概率;
(2)已知第1组群众中男性有2人,组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队,求至少有2名女性的概率.
答案全解全析
第15章　概率
本章达标检测
一、单项选择题
1.B　因为1号球的频数为4,则1号球占总体分布的频率为=0.4.
故选B.
2.A　∵A,B是互斥事件,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,
∵P(A)=0.2,∴P(B)=0.5-0.2=0.3.
故选A.
3.C　③中“至少有一个是奇数”,即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有3个事件:
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,其余都不是对立事件.
故选C.
4.C　由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为,又它是肉馅包子的概率为,所以它是素馅包子的概率为-=,故素馅包子的个数为10×=3.
5.C　从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中这两个数之和为4的有(2,2),(3,1),共2种情况,故所求的概率为=.
6.A　由题意得(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,故m>n,易知得到的向量a共有6×6=36(种)情况,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共15种情况,故所求概率P==.
7.D　从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠,得到的整数共有32个,分别为11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,1 001,1 005,5 001,5 005,1 010,1 050,5 010,5 050,1 100,1 500,5 100,5 500,2,20,200,2 000,6,60,600,6 000,
其中算盘表示的整数能被3整除的有16个,分别为15,51,105,501,150,510,1 005,5 001,1 050,5 010,1 500,5 100,6,60,600,6 000,
则算盘表示的整数能被3整除的概率P==.
故选D.
8.B　日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天,日销售量为20个的3天分别记为a,b,c,日销售量为21个的2天分别记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有10种:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种,故所求概率P=.故选B.
二、多项选择题
9.ABC　由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;因为从100件中随机抽取产品符合古典概型的定义,所以P(B)=,P(A∪B)=,故A、B正确;很明显P(A∪B)≠P(C),故D错误.
故选ABC.
10.ABD　事件A与B不能同时发生,但能同时不发生,所以A与B是互斥事件但不是对立事件,故A正确;
事件A与C有且只有一个能发生,所以A与C是互斥事件,也是对立事件,故B正确;
事件A与D能同时发生,所以A与D不是互斥事件,故C错误;
事件C与D能同时发生,所以C与D不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
11.ABD　在A中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件M={2,4,6},事件N={3,6},事件MN={6},∴P(M)==,P(N)==,P(MN)==×,即P(MN)=P(M)P(N).故事件M与N相互独立,A正确.在B中,根据事件的特点易知,事件M是否发生对事件N是否发生的概率没有影响,故M与N是相互独立事件,B正确.在C中,由于第一次摸到球不放回,因此会对第二次摸球的概率产生影响,因此不是相互独立事件,C错误.在D中,从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生互不影响,所以它们是相互独立事件,D正确.故选ABD.
12.ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有1件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此取出的2件中恰有1件次品的概率P==,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
故选ACD.
三、填空题
13.答案　
解析　解法一: 设事件A为“这次比赛乙队不输”,则事件为“这次比赛甲队获胜”,
因为甲队获胜的概率P()=,
所以这次比赛乙队不输的概率P(A)=1-P()=1-=.
解法二:设事件A为“这次比赛乙队不输”,事件B为“这次比赛乙队获胜”,事件C为“这次比赛甲、乙两队打平”,所以P(C)=,P(B)=1--=,
所以这次比赛乙队不输的概率P(A)=P(B)+P(C)=+=.
14.答案　　
解析　由题意可知,满足条件的随机数组中,前两次抽取的数中必须包含0或1,且0与1不能同时出现,第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0,可得符合条件的数组只有3组:021,130,031,
故所求概率P==.
15.答案　
解析　五个“阳数”分别是1,3,5,7,9,任取3个数的基本事件有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共10个,其中和为15的有(1,5,9),(3,5,7),共2个,
故所求概率为=.
16.答案　;
解析　设甲射中红、黄、蓝区域的事件分别为A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝区域的事件分别为B1,B2,B3,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.
∵甲、乙两人射击情况互不影响,
∴甲、乙两人命中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)·P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=;
甲、乙两人命中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+
P(A3)P(B2)=×+×+×+×+×+×=.
四、解答题
17.解析　(1)画出树形图,如图所示:
(2分)
则选购方案为(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E). (5分)
(2)由(1)知,选购方案有6种情况,其中A型号电脑被选中的有2种情况,分别为(A,D),(A,E), (8分)
所以A型号电脑被选中的概率为=. (10分)
18.解析　(1)设“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则P(A)=×=,P(B)=×=,P(C)=×=. (5分)
因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大. (6分)
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=. (12分)
19.解析　(1)设元件A、B、C正常工作分别为事件D,E,F,则D,E,F相互独立,
P(D)=0.5,P(E)=0.6,P(F)=0.8,
故P1=P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=0.5×0.6×0.8=0.24, (3分)
P2=P[D∩(E∪F)]=P(D)[1-P(　)]=0.5×(1-0.4×0.2)=0.46. (6分)
(2)P1=P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=p3,
P2=P[D∩(E∪F)]=P(D)[1-P( )]=p[1-(1-p)2], (9分)
则P1-P2=p3-p[1-(1-p)2]=2p3-2p2
=2p2(p-1),
又020.解析　(1)由题表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的概率分别为=,=,=. (2分)
∵>>,
∴老年人更倾向于选择报团游. (4分)
(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中,老年人有1人,记为a,中年人有2人,记为b,c,青年人有2人,记为d,e,
从中随机抽取2人,分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个基本事件, (6分)
其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个,分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),
∴这2人中有老年人的概率为=. (8分)
(3)根据题表中的数据可得
报团游的满意率为=,
自助游的满意率为=, (10分)
∵>,∴建议他选择报团游. (12分)
21.解析　(1)由题表可知,选考方案确定的男生中选考生物的有4名,选考方案确定的女生中选考生物的有6名.
所以估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数为××420=140. (6分)
(2)由题表可知,从选考方案确定的8名男生中选出1人,其选考方案中含有历史学科的概率为=, (8分)
从选考方案确定的10名女生中选出1人,其选考方案中含有历史学科的概率为. (10分)
所以该男生和女生的选考方案中都含有历史学科的概率为×=. (12分)
22.解析　(1)设第2组[30,40)的频率为f2,
f2=1-(0.005+0.01+0.02+0.03)×10=0.35. (2分)
第4组的频率为0.02×10=0.2. (4分)
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率P1=0.35+0.2=0.55. (6分)
(2)设第1组[20,30)的频数为n1,则n1=120×0.005×10=6.
记第1组中的男性为x1,x2,女性为y1,y2,y3,y4,
从第1组中随机抽取3名群众的样本空间Ω={(x1,x2,y1),(x1,x2,y2),(x1,x2,y3),(x1,x2,y4),(x1,y2,y1),(x1,y3,y2),(x1,y1,y3),(x1,y4,y1),(x1,y2,y4),(x1,y3,y4),(x2,y2,y1),(x2,y3,y2),(x2,y1,y3),(x2,y4,y1),(x2,y2,y4),(x2,y3,y4),(y1,y2,y3),(y1,y2,y4),
(y2,y3,y4),(y1,y3,y4)},共20个样本点. (8分)
记至少有2名女性为事件A,则A={(x1,y2,y1),(x1,y3,y2),(x1,y1,y3),(x1,y4,y1),(x1,y2,y4),(x1,y3,y4),(x2,y2,y1),(x2,y3,y2),(x2,y1,y3),(x2,y4,y1),(x2,y2,y4),(x2,y3,y4),(y1,y2,y3),(y1,y2,y4),(y2,y3,y4),(y1,y3,y4)},共16个样本点.
所以至少有2名女性的概率P(A)==. (12分)