1.1.2集合的基本关系

1．1.2　集合的基本关系
(1)在具体情境中，了解空集的含义．
(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点一　子集
文字语言 符号语言 图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有________关系，称集合A为集合B的子集 对任意元素x∈A，必有x∈B，则____________，读作____________或________
状元随笔　“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二　真子集
　　　一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．
状元随笔　在真子集的定义中，A ?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
知识点三　集合相等
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知：如果A B且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B且B A.
知识点四　子集、真子集的性质
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
基础自测
1.集合{0，1}的子集有(　　)
A．1个　　　B．2个
C．3个　 D．4个
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是(　　)
A．M＝{π}，N＝{3.141 59}
B．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C．M＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，N＝{1}
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
3．(多选)已知集合A＝{x|－1－x＜0}，则下列各式不正确的是(　　)
A．0 A B．{0}∈A
C． ∈A D．{0} A
4．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　集合间关系的判断[经典例题]
例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A．1　　B．2
C．3 D．4
根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练1　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(　　)
A．M?T B．M?T
C．M＝T D.MT
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
学习完知识点后，我们可以得到B A，C A，D A，D B，D C.
题型2　子集、真子集及个数问题[教材P11例1]
例2　写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集．
【解析】　如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即 ；
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
(3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；
(4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}．
集合A的所有子集是 ，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集．
状元随笔　写出集合的子集时易忘 ，真子集是在子集的基础上去掉自身．
教材反思
1．求集合子集、真子集个数的三个步骤
2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为(　　)
A.1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
状元随笔　(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A ?C ?B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
题型3　根据集合的包含关系求参数[经典例题]
例3　已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A B的实数a的取值范围．
状元随笔　①欲解不等式1＜ax＜2，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a＞0，a＜0进行讨论．
②A B用数轴表示如图所示：(a＞0时)
由图易知，和需在－1与1之间．当＝－1，或＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如＝1时，A＝{x|＜x＜1}，x取不到1.
③a＜0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．
方法归纳
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
跟踪训练3　设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．
(2)若B A，求实数a的取值集合．
状元随笔　(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝ ，此时a＝0；
②B≠ ，此时a≠0.
易错点　忽略空集的特殊性致误　
例　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为{-1， }.
【正解】　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为{-1，0，}.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
错解忽略了N＝ 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
1．1.2　集合的基本关系
新知初探·自主学习
知识点一
任意一个　包含　A B(或B A)　A包含于B　B包含A
[基础自测]
1．解析：集合{0，1}的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}．
答案：D
2．解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0，1}，只有D是正确的．
答案：D
3．解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0} A，ABC不正确．
答案：ABC
4．解析：∵B A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二　由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N?M.
【答案】　(1)B　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，又T＝{－1，0，1}，所以M?T.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
答案：(1)A　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：(1)B 　(2)C
例3　【解析】　(1)当a＝0时，①
A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1∴a≥2.
(3) 当a<0时，A＝.③
∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．
跟踪训练3　解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B?A.
(2)当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；当B≠ ，a≠0时，集合B＝，由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为.