7.1.1角的推广 学案（Word版含答案）

7.1.1　角的推广
知识点一　角的概念
(1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
①正角：按照______________而成的角；
②负角：按照______________而成的角；
③零角：当射线______________时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
知识点二　利用转角给出角的加减法运算的几何意义(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．
(2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
知识点三　象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是________________________________________．
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
状元随笔　零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
[基础自测]
1．钟表的分针在一个半小时内转了(　　)
A．180°　　B．－180°
C．540° D．－540°
2．(多选)下列各角中，与330°角的终边相同的角是(　　)
A．510° B．330°
C．－150° D．－390°
3．已知角α是第一象限角，则α＋180°是第________象限角．
题型一　任意角的概念
例1　(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A.A＝B＝C　　 B．A C
C．A＝B D．B
利用角的概念进行判断．
(2)下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
【解析】　(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
【答案】　(1)D　(2)B
方法归纳
(1)判断角的概念问题的关键与技巧：
①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
(2)在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
①一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
跟踪训练1　下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)
题型二　象限角与区域角的表示
例2　(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)
A.{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
方法归纳
表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．
跟踪训练2　写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
题型三　所在象限的判定方法及角的终边对称问题
状元随笔　1.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示]　(1)代数推导法：先表示出角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示]　(1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180 °－α＋k·360 °，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360 °，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180 °＋α＋k·360 °，k∈Z.
(4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90 °＋k·360°，k∈Z.
例3　(1)若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
状元随笔　(1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；
(2)可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
方法归纳
解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
跟踪训练3　(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
状元随笔　(1)终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
(2)象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α(3)对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
7.1.1　角的推广
新知初探·自主学习
知识点一
　(1)一条射线　端点　旋转　(2)逆时针方向旋转　顺时针方向旋转　没有旋转
知识点二
(1)OA　OB　终边
知识点三
　第几象限的角
知识点四
　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　整数个周角
[基础自测]
1．解析：钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.
答案：D
2．解析：与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，当k＝0时，β＝330°故选BD.
答案：BD
3．解析：∵角α是第一象限角，
α＋180°是将α的终边绕原点旋转180°得到，
∴α＋180°的终边在第三象限，
∴α＋180°是第三象限的角．
故答案为三．
答案：三
课堂探究·素养提升
跟踪训练1　解析：由象限角定义可知①②③④都不正确．
答案：①②③④
例2　【解析】　(1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．
故A可化为{β|n·180°＋60°≤β【答案】　(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　解析：在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
例3　【解析】　(1)因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．
(2)解：∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
【答案】　(1)C　(2)见解析
跟踪训练3　解析：∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角．
∴为第一、第二或第四象限角．