7.2.1三角函数的定义 学案

7.2.1　三角函数的定义
最新课程标准：(1)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)
(2)会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号．(难点)
知识点一　任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上除原点外任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝>0)．
三角函数 定义 定义域 名称
sin α ______ 正弦
cos α ______ ______ 余弦
tan α ____________ 正切
知识点二　三角函数在各象限的符号
状元随笔　记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有诀窍，口诀记忆
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．
[基础自测]
1．已知角α终边经过P，则cos α等于(　　)
A．　　　B．
C． D．±
2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是(　　)
A．sin α与cos α B．tan α与cot α
C．tan α与sec α D．cot α与csc α
3．若角α的终边上有一点P(3，4)，则sin α＋cos α＝________．
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．
题型一　任意角三角函数的定义及应用
例1　(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有(　　)
A.(－4，3)
B．(3，－4)
C．(4，－3)
D．(－3，4)
(2)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
【解析】　(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
(2)因为角－的终边与单位圆交于点P，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【答案】　(1)A　(2)－　－
方法归纳
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值．
题型二　三角函数符号的判断
例2　判断下列各式的符号．
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
(2)tan 191°－cos 191°；
(3)sin 2cos 3tan 4.
先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
方法归纳
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．
跟踪训练2　判断下面式子的符号：
sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan (－480°)．
题型三　三角函数的定义域
例3　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
(1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；
(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．
状元随笔　1.正切函数tan α的定义域为何不是R
[提示]　根据正切函数的定义tan α＝，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为{α|α≠kπ＋，k∈Z}．
2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？
[提示]　解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：
(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.
方法归纳
求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示．
跟踪训练3　求函数y＝的定义域．
教材反思
(1)对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
①正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
②余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
③正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
(2)巧记三角函数值符号
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
(3)对三角函数定义的三点说明
①三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
②三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
③三角函数值的大小只与角有关，而与点P(x，y)的位置无关．
[易错点]　忽略了三角函数的定义中r是点P到原点的距离，所以要加绝对值．
已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________．
错解：r＝5a，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝＝1
正解：因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＝－1.
易错警示：错误原因：忽略了r是点P到原点的距离，所以要加绝对值．
纠错心得：三角函数是用点的坐标和点到原点的距离比值来定义的，结果只与坐标有关．
7.2.1　三角函数的定义
新知初探·自主学习
知识点一
R　　R　{α|α≠kπ＋，k∈Z}
[基础自测]
1．解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝.
答案：B
2．解析：由三角函数的定义及其定义域可知，对tan α与sec α中角α的取值范围为{α|α≠kπ＋，k∈Z}，故选C.
答案：C
3．解析：由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝.
答案：
4．解析：∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号．
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．
答案：第三或第四
课堂探究·素养提升
跟踪训练1　解析：根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，
∴P(5，－12)，r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.
例2　【解析】　(1)∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
跟踪训练2　解析：270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，
则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，
所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan (－480°)>0.
所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan (－480°)>0，即符号为正．
例3　【解析】　(1)要使函数有意义，需tan x≠0，
所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z.
于是函数的定义域是
{x|x∈R且x≠，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，需
得
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
所以函数的定义域是
.
跟踪训练3　解析：由题意知
由y＝16－x2的图像解得16－x2≥0的解集为[－4，4].
sin x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
结合数轴知函数定义域为[－4，－π]