北京市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中学业测试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中学业测试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 372.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-05 12:42:41 | ||
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文档简介
北京市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中学业测试
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，选出符合题目要求的一项．
1．数列1，0，1，0，．．．．．．的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
3．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（ ）
A． B． C．4 D．
5．函数的图象在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，“”是“为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
10．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分
11．等差数列中，若，则数列的前9项的和______．
12．已知某一随机变量X的概率分布列如下，
X 3 b 8
P 0.2 0.5 a
且，则______；______．
13．甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%，则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为______．
14某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是______（元）．
15．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙，大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第______天．
16．数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则______，数列的前100项的和等于______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本小题10分）
已知，求：
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求a；
（Ⅲ）在）处的切线与直线平行，求a？
18．（本小题满分14分）
已知等差数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（I）求数列的通项公式：
（II）设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，控第一个解答计分
19．（本小题13分）
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，．设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（Ⅰ）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
（Ⅱ）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．
20．（本小题满分14分）
设数列满足，．
（Ⅰ）计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
21．（本小题15分）
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（Ⅰ）求选手甲正确作答2个题目的概率；
（Ⅱ）求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
（Ⅲ）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
22．（本小题14分）
在递增数列中，，设，记使得成立的的最小值为．
（I）设数列为1，3，4，5，写出，，，的值；
（II）若，求的值；
（III）若，求数列的前2m项和公式．
北京市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中学业测试
参考答案及评分标准
选择答案：1—5D A B D C 6—10A C B B C
填空答案：11．45 12．0.3 6 13．50% 14．2200 15．4 16．2 384
17．解：（1）
（2） 由题意 ∴
（3）由题意∴经检验符合题意
18．（I）解：选①②由已知，
所以数列
选②③由已知，
所以数列
选①③由已知，
所以数列
所以数列是首项为，公差为的等差数列
所以数列的通项公式为：
（II）设等比数列满足，，
所以数列
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以数列的通项公式为：
因为数列的前n项和
19．（Ⅰ）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮一次且没有命中的概率为．
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为，
所以．
答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为．
（Ⅱ）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B．
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮3次，且都没命中的概率为，
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为．
所以．
答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为．
20．解：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
即，
证明如下：
①当时，成立；
②假设时，结论成立，即成立．
则时，
也成立．
由①②知，对任意的，都有成立；
（Ⅱ）由（1）可知，
①
②
由①-②得：
即．
21．解：（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，
则．
所以选手甲正确作答2个题目的概率．
（Ⅱ）设选手乙正确作答的题目个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3．
；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
因为，所以数学期望．
（Ⅲ）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．
以，．
所以．
因为，
所以．所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
22．解：（Ⅰ）令时，的最小值
令时，的最小值
令时，的最小值
令时，的最小值
（II）由，即数列是首项为1，公比为2的等比数列
所以使得成立的的最小值为：
，，，，
，，
，所以：
（III）由题意，
对于正整数，由，得．
根据的定义可知
当时，；当时，．
∴
．
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，选出符合题目要求的一项．
1．数列1，0，1，0，．．．．．．的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
3．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（ ）
A． B． C．4 D．
5．函数的图象在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，“”是“为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
10．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分
11．等差数列中，若，则数列的前9项的和______．
12．已知某一随机变量X的概率分布列如下，
X 3 b 8
P 0.2 0.5 a
且，则______；______．
13．甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%，两地同时降雨的概率为30%，则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为______．
14某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是______（元）．
15．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙，大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第______天．
16．数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则______，数列的前100项的和等于______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本小题10分）
已知，求：
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求a；
（Ⅲ）在）处的切线与直线平行，求a？
18．（本小题满分14分）
已知等差数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（I）求数列的通项公式：
（II）设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，控第一个解答计分
19．（本小题13分）
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，．设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（Ⅰ）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
（Ⅱ）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．
20．（本小题满分14分）
设数列满足，．
（Ⅰ）计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
21．（本小题15分）
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（Ⅰ）求选手甲正确作答2个题目的概率；
（Ⅱ）求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
（Ⅲ）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
22．（本小题14分）
在递增数列中，，设，记使得成立的的最小值为．
（I）设数列为1，3，4，5，写出，，，的值；
（II）若，求的值；
（III）若，求数列的前2m项和公式．
北京市第三高级中学2021-2022学年高二下学期期中学业测试
参考答案及评分标准
选择答案：1—5D A B D C 6—10A C B B C
填空答案：11．45 12．0.3 6 13．50% 14．2200 15．4 16．2 384
17．解：（1）
（2） 由题意 ∴
（3）由题意∴经检验符合题意
18．（I）解：选①②由已知，
所以数列
选②③由已知，
所以数列
选①③由已知，
所以数列
所以数列是首项为，公差为的等差数列
所以数列的通项公式为：
（II）设等比数列满足，，
所以数列
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以数列的通项公式为：
因为数列的前n项和
19．（Ⅰ）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮一次且没有命中的概率为．
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为，
所以．
答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为．
（Ⅱ）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B．
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮3次，且都没命中的概率为，
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为．
所以．
答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为．
20．解：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
即，
证明如下：
①当时，成立；
②假设时，结论成立，即成立．
则时，
也成立．
由①②知，对任意的，都有成立；
（Ⅱ）由（1）可知，
①
②
由①-②得：
即．
21．解：（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，
则．
所以选手甲正确作答2个题目的概率．
（Ⅱ）设选手乙正确作答的题目个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3．
；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
因为，所以数学期望．
（Ⅲ）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．
以，．
所以．
因为，
所以．所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
22．解：（Ⅰ）令时，的最小值
令时，的最小值
令时，的最小值
令时，的最小值
（II）由，即数列是首项为1，公比为2的等比数列
所以使得成立的的最小值为：
，，，，
，，
，所以：
（III）由题意，
对于正整数，由，得．
根据的定义可知
当时，；当时，．
∴
．
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