冀教版数学七年级下册 11.3 公式法 教案（共2课时）

公式法
【第一课时】
【教学目标】
知识与技能：
1．会用平方差公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性。
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力。
过程与方法：
经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正反两方面认识和研究事物的方法。
情感态度价值观：
通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
【教学重点】
运用平方差公式分解因式。
【教学难点】
灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性。
【教学过程】
一、复习提问
1．口述乘法公式，并把其中的平方差公式写到黑板上来，同时说明公式中的字母可以表示什么？
2．计算：
（1）(x+1)(x－1)；（2）(3x+2)(3x－2)；
（3）什么叫分解因式？它和乘法相乘有什么关系？
二、引入新课
分解因式和乘法相乘既然是互逆的关系，那么我们把乘法反过来就是分解因式。
同学们试着将：x2－1与9x2－4进行因式分解。
x2－1=(x+1)(x－1)
9x2－4=(3x+2)(3x－2)
三、进行新课
做一做：
你能类似地将下面的多项式分解因式吗？
问：在上面的计算中，你运用了哪一个乘法公式？请口述它的内容，并用式子表示出来。
答：在计算中运用了平方差公式。内容是：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。用式子表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2
问：请同学们总结一下用平方差公式因式分解的公式
学生回答，老师总结：因为多项式的因式分解与整式乘法是相反的变形，因此把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来写，就得到式子
a2－b2=(a+b)(a－b)
用语言叙述就是：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。利用这个公式，可以把具有平方差形式的多项式分解因式。
问：公式有怎样的特点，运用该公式需满足什么条件？
总结：这里a，b可以表示数、单项式、多项式。
①左侧为两部分；
②两部分都是平方项；
③两部分的符号相反。
下面我们来实际应用一下。
例1：把下列各式分解因式：
（1）4x2－9y2 （2）(3m－1)2－9
解：（1）学生分析，先说出怎样化成平方差的形式，然后分解因式。
4x2－9y2
=(2x)2－(3y)2
=(2x＋3y)(2x－3y)
（2）分析：式中9可以写成32，这样原式就变形为用平方差公式分解因式的形式。
(3m－1)2－9
=(3m－1)2－32
=(3m－1+3)(3m－1－3)
=(3m+2)(3m－4)
例2：把下列各式分解因式：
（1）a3－16a； （2）2ab3－2ab
解：（1）有公因式a，所以先提取公因式，再利用平方差公式因式分解
a3－16a
=a(a2－16)
=a(a＋4)(a－4)；
（2）2ab3－2ab
=2ab(b2－1)
=2ab(b＋1)(b－1)
下面我们要做一下这方面的练习。
四、课堂练习
1．填空
（1）4x2=( )2；
（2）25m2=( )2；
（3）64x2y2=( )2；
（4）100p4q2=( )2．
2．课本“练习”1、2题。
3．下列多项式可不可以用平方差公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么。
（1）x2+y2；（2）x2－y2；
（3）－x2+y2；（4）－x2－y2．
五、小结
能用平方差公式分解因式的多项式，应具备如下条件：
1．（1）式子可以分为两部分；
（2）这两部分都可以写成整式（数）的平方的形式；
（3）这两部分的符号应相反。
2．分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
3．因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
教师应指出上面总结的内容中提到的“两部分”不是“两项”，这是因为平方差公式中的字母a、b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式。
【作业布置】
课本“习题”A组。
【第二课时】
【教学目标】
知识与技能：
1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性。
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力。
过程与方法：
经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正反两方面认识和研究事物的方法。
情感态度价值观：
通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
【教学重点】
运用完全平方式分解因式。
【教学难点】
灵活运用完全平方公式分解因式。
【教学过程】
一、复习
1．问：什么叫把一个多项式因式分解？我们已经学习了哪些因式分解的方法？
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。
2．把下列各式分解因式：
（1）ax4－ax2 （2）16m4－n4
解：（1）ax4－ax2=ax2(x2－1)
=ax2(x+1)(x－1)
（2）16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？
答：有完全平方公式。
请写出完全平方公式。
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。
二、新课
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。
问：具备什么特征的多项式是完全平方式？
答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。
问：下列多项式是否为完全平方式？为什么？
（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；
（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1。
答：（1）式是完全平方式。因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3)。
（2）不是完全平方式。因为第三部分必须是2xy。
（3）是完全平方式。25x4=(5x)2，1=1，10x2=2×5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2。
（4）不是完全平方式。因为缺第三部分。
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=？b=？2ab=？
答：完全平方公式为：
a2+2ab+b2=(a+b)2
9x2+6xy+y2=(3x)2+2·(3y)·y+y2=(3x+y)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y。
例3：把下列各式分解因式；
（1）t2＋22t＋121；（2）m2＋n2-mn
分析：（1）这个多项式是由三部分组成，第一项“t2”是t的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t”是t与11的积的2倍。所以多项式t2＋22t＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式。
（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式？有几种解法？
解：（1）t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=(t＋11)2；
（2）m2＋n2-mn
=m2－2·m·n+(n)2
=(m－n)2
例4：把下列各式分解因式：
（1）ax2＋2a2x＋a3；
（2）(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
（3）(3m-1)2＋(3m-1)+
解：（1）ax2＋2a2x＋a3
=a(x2＋2ax＋a2)
=a(x＋a)2；
（2）(x＋y)2－4(x＋y)＋4
=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
=(x＋y－2)2
（3）(3m-1)2＋(3m-1)+
=(3m-1)2－2·(3m-1)·＋()2
=(3m－1＋)2
=(3m－)2
注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正
三、课堂练习
1．填空：
（1）x2－10x+( )2=( )2；
（2）9x2+( )+4y2=( )2；
（3）1－( )+m2/9=( )2．
2．下列各多项式是不是完全平方式？如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式。
（1）x2－2x+4；（2）9x2+4x+1；（3）a2－4ab+4b2；
（4）9m2+12m+4；（5）1－a+a2/4。
3．把下列各式分解因式：
（1）a2－24a+144；（2）4a2b2+4ab+1；
（3）x2+2xy+9y2；（4）a2－ab+b2
答案：
1．（1）25，(x－5)2；（2）12xy，(3x+2y)2；（3）m，(1－m)
2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式。
（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式。
（3）是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2
（4）是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2)2
（5）是完全平方式，1－a+a2/4=(1－a)2
3．（1）(a－12)2；（2）(2ab+1)2；
（3）(x+3y)2；（4）(a－b)2
四、小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解。
2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b)2
3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
4．因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
【作业布置】
课本“习题”A组。
8 / 8