沪科版数学八年级下册 19.3 矩形 菱形 正方形 教案

第22课时 矩形、菱形、正方形
【课时目标】
1．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．
2．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理，会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理．
【考纲要求】
特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.
【知识梳理】
1．矩形的概念、性质和判定：
(1)定义：有一个内角为_______的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形．
(2)性质：由于矩形是特殊的平行四边形，所以它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线________．
(3)判定：①有一个角是_______的平行四边形是矩形；②四个角_______（或有三个角是_______）的四边形是矩形；③对角线_______的平行四边形是矩形．
2．菱形的概念、性质和判定：
(1)定义：一组邻边_______的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．
(2)性质：由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：菱形的四条边________，两条对角线_______，每一条对角线________．
(3)判定：①一组邻边_______的平行四边形是菱形；②四条边_______的四边形是菱形；③对角线_______的平行四边形是菱形．
3．正方形的概念、性质和判定：
(1)定义：一组邻边_______的矩形叫做正方形．
(2)性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，如：四个角都是_______；四条边都_______；两条对角线互相_______，每一条对角线_______等．
(3)判定：①一组邻边_______且有一个角是_______的平行四边形是正方形；②有一个角是_______的菱形是正方形；③有一组邻边_______的矩形是正方形．
【考点例析】
考点一　矩形的性质和判定
【例1】如图△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩 形AEBD是正方形，并说明理由.
证明：（1）∵点O为AB的中点，OE＝OD,
∴四边形AEBD是平行四边形
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC
∴四边形AEBD是矩形
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAD ＝∠CAD＝∠DBA＝45°
∴BD＝AD.
由（1）知四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形.
【例2】如图，O是菱形ABCD对角线AC和BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm．过点C作C∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点F．
(1)求OC的长；
(2)求证：四边形OBEC为矩形：
(3)求矩形OBEC的面积．
提示 (1)根据菱形的对角线互相垂直，得出BD⊥AC，再根据勾股定理求出OC的长；(2)根据CE∥OB，OC∥BE，易得出四边形OBEC是平行四边形，再由BD⊥AC可得出四
边形OBEC是矩形；(3)矩形的面积＝长×宽，根据菱形的对角线互相平分可得出OB＝OD，OC已求出，故易求得矩形的面积．
考点二　菱形的性质和判定
【例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为 ( )
A．75° B．65° C．55° D．50°
提示 由菱形的性质可以知道菱形的对角线互相垂直平
分，得到∠AOB＝90°．由AB∥CD，得到∠BAD＝50°，
再由菱形的对角线平分每一组对角，得到∠OAB＝25°，从
而求出∠AOE的度数．
【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm．将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．
提示 由题意，可知AD＝10 cm，又由勾股定理，可得
AC＝10 cm．这样容易得到四边形ACFD的四边都等于
10 cm，从而得证．
考点三　正方形的性质和判定
【例5】如图，正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_______．
提示　过点E作EF⊥CD于F，设对角线交点为O，可得
到OE＝EF＝DF．设EF＝x，则DF＝x，且DE＝－x，利用
勾股定理列出方程求解即可．
【例6】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．
(1)求证：DE＝DF；
(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AF DE是怎样的四边形，并证明你的结论．
提示 (1)利用直角三角形特有的HL定理，判断出
Rt△DBF和Rt△DCE全等，从而得出结论；(2)利用一组邻
边相等的矩形是正方形来判断：首先通过∠A、∠AFD、
∠AED为直角判定四边形AFDE是矩形，再通过DF＝DE
判定其为正方形．
【反馈练习】
1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在菱形ABCD中．AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于 ( )
A．20 B．15 C．10 D．5
3．如图，在□ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是 ( )
A．AE＝AF B．EFL．AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使AIE＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )
A．－1 B．3－
C．＋1 D．－1
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是_______．
6．如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
(1) △ABF≌△DEA；
(2) DF是∠EDC的平分线．
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