新人教版高中数学必修第二册 第六章 再练一课(范围：6.2.1～6.2.4 同步练习（Word含答案）

再练一课(范围：6.2.1～6.2.4)
1.在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　)
A.－6 B.6 C.－6 D.6
3.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C.－ D.－
4.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
6.若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______.
7.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是____.
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝________.
9.已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，求a与b的夹角.
10.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
11.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，OA201＝b，用a，b表示＋＋＋…＋，其结果为(　　)
A.100(a＋b) B.101(a＋b)
C.201(a＋b) D.202(a＋b)
12.已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________.(填序号)
①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)；
②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c；
③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.
13.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
14.如图所示，半圆的直径AB＝6，点C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
(1)求证：向量∥；
(2)求||.
15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为________.
16.在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值.
再练一课(范围：6.2.1～6.2.4)答案
1.在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝.
2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　)
A.－6 B.6 C.－6 D.6
答案　C
3.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　C
解析　∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝－.
4.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
答案　B
解析　由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2 2a·b＝－|a|2 2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2 cos θ＝－ θ＝120°.
6.若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______.
答案　a－b＋c
解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
所以3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
7.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是____.
答案　平行四边形
解析　＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
则BA＝CD且BA∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝________.
答案　－
解析　根据条件：
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋；
所以·＝·(－)
＝·－2＋2
＝×3×3×－×9＋×9＝－.
9.已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，求a与b的夹角.
解　设a与b的夹角为θ，依题意有：(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝，
因为0≤θ≤π，故θ＝.
10.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
解　a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
11.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，OA201＝b，用a，b表示＋＋＋…＋，其结果为(　　)
A.100(a＋b) B.101(a＋b)
C.201(a＋b) D.202(a＋b)
答案　B
解析　设A0A201的中点为A，则A也是A1A200，…，A100A101的中点，可得＋＝2＝a＋b，同理可得，＋＝＋＝…＝＋＝a＋b，故＋＋＋…＋＝101×2
＝101(a＋b).
12.已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________.(填序号)
①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)；
②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c；
③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.
答案　①②③
解析　根据题意画出图形如图所示，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确.
13.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
14.如图所示，半圆的直径AB＝6，点C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
(1)求证：向量∥；
(2)求||.
(1)证明　由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴∠DEB＝90°.又点C为半圆上一点，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC∥DE，∴∥.
(2)解　由(1)知AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴＝，即＝，∴AC＝，即||＝.
15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为________.
答案　
解析　(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
∴|a＋b|＝，
设a与a＋b的夹角为θ，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝＝＝，
则a在a＋b方向上的投影向量的模为|a|cos θ＝4×＝.
16.在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值.
解　·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·＋(－)·－·
＝0＋·－a2
＝||·||cos θ－a2＝a2(cos θ－1)，
当θ＝0°，即和同方向时，·有最大值0.