第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
知识点一 距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理
知识点二 高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
知识点三 角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( √ )
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
( √ )
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
( √ )
4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.( √ )
一、距离问题
例1 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
答案 60(－)
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin 30°
＝×＝60(－).
反思感悟 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
跟踪训练1 A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
答案
解析 由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝72＋52－2×7×5×
＝39.
∴AB＝.
二、高度问题
例2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m
答案 D
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10(m).
反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m)
答案 811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
三、角度问题
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案 B
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
由正弦定理，得＝，
∴x＝sin(120°－α).
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，
由＝，得AB＝100×＝50(m).
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
答案 B
解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
3.如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
答案 D
4.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 ( )
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝＝＝3(km).
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100(m).
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A.α>β B.α＝β
C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°
答案 B
2.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.3a n mile B.a n mile
C.a n mile D.a n mile
答案 B
解析 由余弦定理，得AB＝＝a(n mile).
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
答案 D
解析 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝4(m).
4.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案 B
解析 如题图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A.(30＋30)m B.(30＋15)m
C.(15＋30)m D.(15＋15)m
答案 A
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.
6.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.
答案 15
解析 设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，
由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，
所以由正弦定理，得AB＝15，
即此时船与灯塔的距离是15 km.
7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ cm.
答案
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，
由正弦定理，得x＝＝＝ (cm).
8.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km.
答案 30
解析 如图所示，
在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，
AC＝60 km，根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km).
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以
5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
解 (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，
AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7(n mile/h)，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.求索道AB的长.
解 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
答案 D
解析 方法一 设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
12.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
答案 D
解析 如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 海里.
由正弦定理得＝，所以BC＝5(海里).
13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案 B
解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
14.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 .
答案
解析 由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
所以BC＝20，
由正弦定理得
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
15.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝(小时)≈15(分钟).
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
16.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离.
解 由题意得在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，cos∠ACB＝
＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝
＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，
∴＝－，
即＝，
解得x＝.
∴AB＝ km，AD＝ km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
知识点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.( × )
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( √ )
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.( √ )
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.( × )
一、已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.
反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1 已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
答案 2
解析 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
二、已知三边解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解 ∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°
∴最大角A为120°.
反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
解 易知a根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，
∴A＝.
三、利用余弦定理判断三角形的形状
例3 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
反思感悟 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
跟踪训练3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案 直角
解析 由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为( )
A.52 B.2 C.16 D.4
答案 B
解析 设第三条边长为x，
则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，
∴x＝2.
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cos C＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为( )
A. B. C.或 D.或
答案 A
解析 ∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.
4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
答案 B
解析 设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，
则由余弦定理得
cos B＝＝＝，B为△ABC的内角，
∴∠B＝60°，
∵BC>AC>AB，∴A>B>C，
∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝ .
答案
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由余弦定理，得cos A＝＝，
又A为△ABC的内角，所以A＝.
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.
1.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B. C. D.5
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以c＝.
2.(2019·安徽合肥八中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为( )
A.150° B.120° C.92° D.135°
答案 B
解析 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－.
因为C为△ABC的内角，
所以此三角形中的最大角C＝120°.
3.(2019·四川绵阳中学月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，c＝2，cos A＝，则b等于( )
A. B. C.2 D.3
答案 D
解析 ∵a＝，c＝2，cos A＝，
∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，
∴b＝3或b＝－(舍去).
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B.8－4 C.1 D.
答案 A
解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于( )
A.4 B. C.3 D.
答案 D
解析 由三角形内角和定理，可知
cos C＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为 .
答案 60°
解析 ∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0°∴A＝60°.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2答案
解析 因为a2＋b2所以△ABC是钝角三角形，且C>.
又因为sin C＝，所以C＝.
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
答案
解析 由题意得a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝.
9.在△ABC中，a∶b∶c＝2∶4∶5，判断三角形的形状.
解 因为a∶b∶c＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
c最大，cos C＝<0，
所以C为钝角，
从而△ABC为钝角三角形.
10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解 (1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
11.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cos B＝＝＝.
12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos C＝＝＝.
13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是( )
A.(1,7) B.(1,5) C.(，5) D.(，5)
答案 C
解析 ∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
∴cos A＝>0，
且cos C＝>0，∴7∴14.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 .
答案
解析 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，
有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
15.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长.
解 方法一 由条件知
cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，知
x2＝2＋AB2－2××ABcos A
＝42＋92－2×4×9×＝49，
所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
方法二 设AC中点为M，连接BM(图略).
则＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)
＝(92＋72＋2||||cos∠ABC).
由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82，
∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49.
∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.
16.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min，从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，求该扇形的半径.
解 依题意得OD＝100 m，
CD＝150 m，连接OC，易知
∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理，得
OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m).第2课时 正弦定理
学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
知识点一 正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
即＝＝.
知识点二 正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
思考 在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
答案 等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
1.正弦定理对任意的三角形都成立.( √ )
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.( √ )
3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.( × )
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( × )
一、已知两角及任意一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
解 根据正弦定理，得b＝＝＝10.
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝20.
反思感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋).
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
解 ∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
解 ∵＝，∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.
反思感悟 这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
∵AB三、三角形形状的判断
例3 在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.
证明 ∵＝，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴a2＝b2即a＝b，
设＝＝＝k(k≠0)，
则sin A＝，sin B＝，sin C＝，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴＋＝，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
反思感悟 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；
②＝，＝，＝；
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；
②＝，＝，＝.
跟踪训练3 在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.正三角形
答案 B
解析 方法一 (利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理，
2sin Acos B＝sin C可化为
2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形.
方法二 (利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B).
由2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0.
因为－π所以△ABC是等腰三角形.
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根据正弦定理，得＝＝.
2.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案 B
解析 由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
3. 在△ABC中，一定成立的等式是( )
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A
答案 C
解析 由正弦定理＝，得asin B＝bsin A.
4.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A.4 B.4 C.4 D.4
答案 C
解析 易知A＝45°，由＝得
b＝＝＝4.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，求△ABC最短边的边长.
解 由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边.由正弦定理，得＝，即＝，则b＝.
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论.
1.在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于( )
A.1 B.2 C. D.
答案 B
解析 ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝＝＝2.
2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 由题意可知＝b＝，则sin B＝1，
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为( )
A.1 B.2 C.－1 D.
答案 B
解析 由正弦定理＝，
可得＝，∴sin B＝，
由a>b，得A>B，∴B∈，∴B＝.
故C＝，由勾股定理得c＝2.
4.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 由正弦定理，得＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
∴cos B＝＝＝.
5.在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A.A>B B.AC.A≥B D.A，B的大小关系不确定
答案 A
解析 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，
∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，
即a>b，故A>B.
6.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝ .
答案 或
解析 由正弦定理，得sin A＝＝＝，
又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或.
7.在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝ .
答案 2
解析 由正弦定理，得c＝＝2a＝2.
8.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为 .
答案
解析 △ABC外接圆直径2R＝＝＝.
9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解 ∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
10.在△ABC中，已知acos＝bcos，试判断△ABC的形状.
解 方法一 ∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
方法二 ∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
又∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去).
故△ABC为等腰三角形.
11.在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 B
解析 由正弦定理知＝，
∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( )
A. B.－ C.± D.
答案 A
解析 因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，所以cos B＝，又B为三角形内角，所以sin B＝＝.
所以sin C＝sin 2B＝2××＝.
又cos B>cos 45°，所以B<45°，C＝2B<90°，
cos C＝＝.
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
答案 (，2)
解析 在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
解 (1)由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B，
∴tan B＝.
∵0(2)由sin C＝sin A及正弦定理，
得c＝a，①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2－ac＝9，②
联立①②，解得a＝3，c＝3.
15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是 .
①sin A>sin B；
②cos A③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
答案 ①②③
解析 A>B a>b sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cos A在锐角三角形中，∵A＋B>，
∴0<－B函数y＝sin x在区间上是增函数，
则有sin A>sin，即sin A>cos B，
同理sin B>cos A，故③成立.
16.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解 (1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，∴a∴本题无解.
(2)a＝2，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A由正弦定理得sin B＝＝＝，
又∵0°当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2.