湘教版数学七年级下册 1.4 三元一次方程组教案

1.4 三元一次方程组
【学习目标】
1.理解三元一次方程组的含义．
2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
【重点】解简单的三元一次方程组．进一步体会“消元”的基本思想．
【难点】针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
【教学过程】
一、复习，导入新课
1、解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法.
2、它们的实质是什么？消元.
3、数学思想是什么？ 化归转化思想：化未知为已知.
前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．
二、探究学习
1、提出问题：小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的. 试问这家人的年龄分别是多少岁？
2、列出方程组：（1）可建立二元一次方程组来解决.（学生合作完成）
（2）还有其他的方法列方程组求解吗？
因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y 岁，小丽的年龄为z 岁.根据题意得：
三人的年龄之和为80岁：x + y + z = 80， ①
爸爸比妈妈大6岁： x - y = 6， ②
小丽的年龄是爸妈年龄和的：x + y = 7z. ③
三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：
3、概念学习：可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
4、三元一次方程组的解法：解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解.
那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？
如上例：把①、②两式相加得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x + z = 86 .
再把②、③两式相加又得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x = 6 + 7z .
由此可得一个关于x，z的二元一次方程组，解得：
把x=38，z=10代入①式，得38 + y + 10 = 80 ，解得y = 32 .
因此，三元一次方程组的解为：.
5、方法总结：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.消元的基本方法仍然是代入法和加减法.
三、应用举例
例：教材p22例题
分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先消去z或y来求解.
师生共同探究讨论解法，然后想一想：还有其他的消元方法吗？先消去z.
四、课题练习
P22练习第1、2题.
五、创新思维
三元一次方程组的特殊解法：
解方程组 (1)+(2)+(3)得：2x+2y+2z=12 即：x+y+z=6. (4)
(4)-(1)得：z=3；(4)-(2)得：x=2；(4)-(3)得：y=1.
因此，三元一次方程组的解为：. 这类方程组用整体相加法来解.
六、课题小结
总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
七、作业：P23习题1.4 A、B组