2021-2022学年沪科版八年级数学下册第16章 二次根式复习课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第16章-二次根式复习
1.二次根式的概念
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“”称为二次根号.
二次根号
被开方数
根号a
注意：在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
针对练习
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
2.二次根式有意义的条件
被开方数（式子）为非负数 ，.
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
针对练习
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
3. 二次根式的性质
（1）二次根式的双重非负性：
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（a≥0）.
（3）
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
∴a-b+c=2-3+4=3.
归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
针对练习
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3+2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
4.二次根式的乘法法则
文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
法则：
，
文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.
法则逆用：
例1 计算:
解:
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
针对练习
5.二次根式的除法法则
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
法则：（a≥0，b>0）.
拓展：
.
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 .
法则逆用：（a≥0，b>0）.
例1 计算：
解:
除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算
针对练习
解:
归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
6. 最简二次根式
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（1）被开方数不含分母.
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
针对练习
7. 二次根式的加减
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，
若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
例1 计算:
解：
针对练习
8. 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号).
二次根式的混合运算依据：有理数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式.
例1 计算：
解：
针对练习
归纳：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.