河北省沧州市孟村县2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷（word版 含解析）

2021-2022学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期中数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共16小题，共42分）
下列各数中，与的积为有理数的是
A. B. C. D.
将化简，正确的结果是
A. B. C. D.
选择下列计算正确的答案是
A.
B.
C.
D.
设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为已知，，则的值为
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于
A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间
如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于
A. B. C. D.
如图，在 中，，点，分别是，的中点，则等于
A.
B.
C.
D.
已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是
A. B. C. D.
如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
如图，将放在正方形网格图中图中每个小正方形的边长均为，点，，恰好在网格图中的格点上，那么中的高是
A. B. C. D.
以上推导中的错误在第几步
A. B. C. D.
如果，则的值是
A. B. C. D.
如图，在平行四边形中，，，对角线，相交于点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，与各边交点分别为、、、，则图中面积相等的平行四边形的对数为
A. B. C. D.
如图，每个小正方形的边长为，的三边、、的大小关系式正确的是
A.
B.
C.
D.
有一个边长为的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形如图，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共12分）
计算的结果是______．
如图，，，，则等于______ ．
如图，在边长为的菱形中，连接对角线，以为边作第二个菱形，使连接，再以为边作第三个菱形，使则的长度是______；按此规律所作的第个菱形的边长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
若最简二次根式和是同类二次根式．
求，的值；
求的值．
如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
求的值；
求的值．
如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
求证：．
若正方形边长是，，求的长．
如图所示，在中，：：：：，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点沿边向点以每秒的速度移动，如果同时出发，问过秒时，的面积为多少？
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
试说明；
如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
当平分时，写出与的数量关系，并说明理由．
如图，中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于连接，．
试确定四边形的形状，并说明理由．
若，，求四边形的面积．
当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故选：．
根据二次根式的乘法运算法则对各选项进行逐一解答即可．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法运算法则是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
根据二次根式的乘法，可化简二次根式，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的乘法运算是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、和没有意义，故选项错误；
B、当时，，则选项错误；
C、，选项错误；
D、正确．
故选D．
根据二次根式有意义的条件，以及二次根式的性质即可判断．
本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
，
．
点在轴的负半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图
，
由题意得：，
，
故AB．
故选A．
作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点、分别是、的中点，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得，又由点、分别是、的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积，
故选：．
根据菱形的性质得出，，，，，求出，求出是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，求出，再求出菱形的面积即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形．由题意易得四边形 是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得 ，所以平行四边形 是菱形．
【解答】
解：由题意知， ， ， ， ，
四边形 是平行四边形，
矩形的对角线相等，
，
，
平行四边形 是菱形．
故选 C ．
10.【答案】
【解析】解：根据图形可得：
，
，
因为，
所以，
设中边上的高是，
则，
，
．
故选：．
根据所给出的图形求出、、的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于的方程．
11.【答案】
【解析】解：根据二次根式的性质得，错误的是第二步．故选B．
根据二次根式的性质求解．
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
故
．
故选D．
由已知判断，的符号，根据二次根式的性质解答即可．
本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；
解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式及绝对值的运算．
13.【答案】
【解析】解：平行四边形中，，，
，，
．
故选：．
由在平行四边形中，，，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得，，继而求得的取值范围．
此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
14.【答案】
【解析】解：为平行四边形，为对角线，
的面积等于的面积，
同理的面积等于的面积，的面积等于的面积，
的面积减去的面积和的面积等于平行四边形的面积，的面积减去和的面积等于平行四边形的面积．
平行四边形的面积平行四边形的面积，
同时加上平行四边形和，
可以得出平行四边形面积和平行四边形面积相等，平行四边形和平行四边形面积相等．
所以有对面积相等的平行四边形．
故选：．
平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，
即．
故选：．
通过小正方形网格，可以看出，、分别可以构造直角三角形，再利用勾股定理可分别求出、，然后比较三边的大小即可．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出、的长是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是，，．
根据勾股定理，得，
即正方形的面积正方形的面积正方形的面积
所有正方形的面积之和为；
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积
正方形的面积
，
所有正方形的面积之和为，
推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：．
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于；依此类推，经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，进而得问题答案．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18.【答案】
【解析】解：，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
又，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
又，
，
在中，，，
根据勾股定理得：．
故答案为：．
由与垂直，根据垂直定义得到为直角，在直角三角形中，由，利用勾股定理求出的长，同理在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，进而在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长．
此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得：，
，
第一个菱形的边长为：，
第二个菱形的边长为：，
第三个菱形的边长为：，
第个菱形的边长是，
故答案为：，．
连接，交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可求出的长，然后在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，同理可求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，规律型：图形的变化类，熟练掌握菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：
根据题意知，
解得：；
当、时，
．
【解析】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义：被开方数相同；均为二次根式；列方程解组求解；
根据，的值和算术平方根的定义即可求解．
21.【答案】解：蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位长度到达点，
点所表示的数比点所表示的数大．
点表示，点表示，
；
．
【解析】利用数轴上两点之间距离求法得出答案；
直接利用绝对值的性质以及完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，
由得：≌，
，
，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得：．
【解析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明≌是解本题的关键．
根据证明≌，可得结论；
根据得：≌，则，最后利用勾股定理可得的长．
23.【答案】解：设为，为，为，
周长为，
，
，
得，
，，，
，
是直角三角形，
过秒时，，，
故过秒时，的面积为．
【解析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出秒后的，的长，利用三角形的面积公式计算求解．
本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
24.【答案】解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
即；
由图可知，，，
，
．
【解析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
根据完全平方公式的变形解答即可．
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
25.【答案】解：证明：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
．
证明：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，
，
．
【解析】利用矩形的性质，即可判定≌，即可得到，再根据，即可得出四边形是平行四边形；
先判定是等腰直角三角形，可得，再根据是的中点，可得，依据，即可得到．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
26.【答案】证明：平行四边形，
，，
为中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
又，
，
，
故四边形为菱形；
在中，，，
，
为中点，也为的中点，
，
四边形的面积；
应添加条件．
证明：，为中点，
三线合一的性质，即．
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，．
四边形为正方形．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】由题意容易证明平行且等于，又知，所以得到四边形为菱形；
根据解三角形的知识求出和的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形的面积；
应添加条件，证明且相等即可．
本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．
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