5 确定圆的条件
教材认知
1. 的三个点确定一个圆.
2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的 .外接圆的圆心叫做三角形的 ,这个三角形叫做圆的内接三角形.
3.三角形的外心到 的距离相等,它是三边 的交点.
微点拨
锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边上;钝角三角形的外心在三角形的外部.
基础必会
1.(内蒙古鄂尔多斯模拟)下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆的内接四边形的对角相等
C.三点确定一个圆
D.三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心
2.(新疆吐鲁番模拟)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是 ( )
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
3.(甘肃金昌模拟)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为2 cm,若BC=2 cm,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.25° C.15° D.10°
4.(内蒙古包头质检)如图,锐角三角形ABC内接于☉O,点D,E分别是,的中点,设∠BAC=α,∠DAE=β,则 ( )
A.α+β=180° B.2β-α=180° C.β-α=60° D.2α-β=60°
5.(赤峰中考)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 ( )
A.3π B.4π C.6π D.9π
6.(宁夏吴忠期末)如图,△ABC内接于☉O,∠A=64°,则∠OBC= °.
7.(平凉期末)如图,△ABC是圆O的内接三角形,连接OA,OC,若∠AOC=∠ABC,弦AC=6,则圆O的半径为 .
8. (甘肃武威模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,过A,B,C三点作一圆弧,则圆心的坐标是 .
9.当点A(1,2),B(3,-3),C(m,n)三点可以确定一个圆时,m,n需要满足的条件为
.
10. (新疆阿勒泰模拟)如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D.已知:AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹).
(2)求(1)中所作圆的半径.
能力提升
1.(甘肃平凉模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.点P为△ABC内一点,且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,△ACP的面积是 ( )
A.3 B.3 C. D.
2.(兰州质检)如图,在Rt△ABC中,点D为斜边AC上的一点(不与点A,C重合),BD=4,过点A,B,D作☉O,当点C关于直线BD的对称点落在☉O上时,则☉O的半径等于
.
3.如图,△ABC内接于☉O,连接AO并延长交BC于点D,若∠B=58°,∠C=46°,则∠ADB= .
4.(乌鲁木齐模拟)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.
(2)如图2,四边形ABCD内接于☉O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,AF,若AC是☉O的直径.
①求∠AED的度数;
②若AB=8,CD=5,求△DEF的面积.
PAGE5 确定圆的条件
教材认知
1. 不在同一条直线上 的三个点确定一个圆.
2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的 外接圆 .外接圆的圆心叫做三角形的 外心 ,这个三角形叫做圆的内接三角形.
3.三角形的外心到 三角形顶点 的距离相等,它是三边 垂直平分线 的交点.
微点拨
锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边上;钝角三角形的外心在三角形的外部.
基础必会
1.(内蒙古鄂尔多斯模拟)下列说法正确的是 (D)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆的内接四边形的对角相等
C.三点确定一个圆
D.三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心
2.(新疆吐鲁番模拟)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是 (A)
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
3.(甘肃金昌模拟)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为2 cm,若BC=2 cm,则∠A的度数为 (A)
A.30° B.25° C.15° D.10°
4.(内蒙古包头质检)如图,锐角三角形ABC内接于☉O,点D,E分别是,的中点,设∠BAC=α,∠DAE=β,则 (B)
A.α+β=180° B.2β-α=180° C.β-α=60° D.2α-β=60°
5.(赤峰中考)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 (D)
A.3π B.4π C.6π D.9π
6.(宁夏吴忠期末)如图,△ABC内接于☉O,∠A=64°,则∠OBC= 26 °.
7.(平凉期末)如图,△ABC是圆O的内接三角形,连接OA,OC,若∠AOC=∠ABC,弦AC=6,则圆O的半径为 6 .
8. (甘肃武威模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,过A,B,C三点作一圆弧,则圆心的坐标是 (2,1) .
9.当点A(1,2),B(3,-3),C(m,n)三点可以确定一个圆时,m,n需要满足的条件为
5m+2n≠9 .
10. (新疆阿勒泰模拟)如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D.已知:AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)求作此残片所在圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹).
(2)求(1)中所作圆的半径.
【解析】(1)连接AC,BC,作弦AC和弦BC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,则O为圆心.
如图:
(2)连接OA,设OA=x,AD=12 cm,OD=(x-8) cm,
则根据勾股定理列方程:x2=122+(x-8)2,解得:x=13.所以圆的半径为13 cm.
能力提升
1.(甘肃平凉模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.点P为△ABC内一点,且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,△ACP的面积是 (D)
A.3 B.3 C. D.
2.(兰州质检)如图,在Rt△ABC中,点D为斜边AC上的一点(不与点A,C重合),BD=4,过点A,B,D作☉O,当点C关于直线BD的对称点落在☉O上时,则☉O的半径等于
2 .
3.如图,△ABC内接于☉O,连接AO并延长交BC于点D,若∠B=58°,∠C=46°,则∠ADB= 78° .
4.(乌鲁木齐模拟)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.
(2)如图2,四边形ABCD内接于☉O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,AF,若AC是☉O的直径.
①求∠AED的度数;
②若AB=8,CD=5,求△DEF的面积.
【解析】(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,
∴∠E=∠ECD-∠EBD=(∠ACD-∠ABC)
=∠A=α.
(2)如图1,延长BC到点T,
∵四边形FBCD内接于☉O,
∴∠FDC+∠FBC=180°,
又∵∠FDE+∠FDC=180°,∴∠FDE=∠FBC,
∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE,
∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,
∴BE是∠ABC的平分线,
∵=,∴∠ACD=∠BFD,
∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,
∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,
∴CE是△ABC的外角平分线,
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
(3)①如图2,连接CF,
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角,
∴∠BAC=2∠BEC,
∵∠BFC=∠BAC,
∴∠BFC=2∠BEC,
∵∠BFC=∠BEC+∠FCE,
∴∠BEC=∠FCE,
∵∠FCE=∠FAD,
∴∠BEC=∠FAD,
又∵∠FDE=∠FDA,FD=FD,
∴△FDE≌△FDA(AAS),
∴DE=DA,
∴∠AED=∠DAE,
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠AED+∠DAE=90°,
∴∠AED=∠DAE=45°.
②如图3,过点A作AG⊥BE于点G,过点F作FM⊥CE于点M,
∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,
∵BE平分∠ABC,∴∠FAC=∠EBC=∠ABC=45°,
∵∠AED=45°,∴∠AED=∠FAC,
∵∠FED=∠FAD,
∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD,
∴∠AEG=∠CAD,∵∠EGA=∠ADC=90°,
∴△EGA∽△ADC,∴=,
∵在Rt△ABG中,AG=AB=4,
在Rt△ADE中,AE=AD,∴=,
在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,
∴设AD=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5x)2,
∴x=,∴ED=AD=,
∴CE=CD+DE=,∵∠BEC=∠FCE,
∴FC=FE,∵FM⊥CE,∴EM=CE=,
∴DM=DE-EM=,
∵∠FDM=45°,∴FM=DM=,
∴S△DEF=DE·FM=.
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