2 圆的对称性
教材认知
1.圆是 轴对称 图形,任何一条 直径 所在直线都是它的对称轴.
2.圆是中心对称图形,对称中心是 圆心 .
3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等,所对的 弦 也相等.
4.在同圆或等圆中,如果两个 圆心角 、两条 弧 、两条 弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
微点拨
1.不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦不一定相等.
2.在同圆或等圆中,相等的两个圆心角,相等的两条弧,相等的两条弦,其中一组量相等,可以推出其他两组量相等.
基础必会
1.(甘肃张掖期末)下列图形中的角是圆心角的是 (A)
2.(宁夏固原模拟)下列四个命题:①同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等;
②同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等;③同圆或等圆中,相等的弦的弦心距相等;
④同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
真命题的个数有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(新疆和田模拟)如图,在☉O中,若点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC等于 (C)
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是 (D)
A.32° B.60° C.68° D.64°
5.(甘肃平凉期末)在半径为1的☉O中,若弦AB的长为1,则弦AB所对的圆心角的度数为 (B)
A.90° B.60° C.30° D.15°
6.(兰州期末)如图,AB为☉O的直径,点C,D是的三等分点,∠AOE=60°,则∠BOD的度数为 (C)
A.40° B.60° C.80° D.120°
7.(内蒙古包头模拟)如图,AB为☉O的直径,△PAB的边PA,PB与☉O的交点分别为C,D.若==,则∠P的大小为 60° .
8.(兰州模拟)如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连接AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°,则∠OCB= 20° .
9.(新疆喀什模拟)在☉O中,AB=BC,求证:∠OAB=∠OCB.
【证明】在△AOB和△COB中,∴△AOB≌△COB,∴∠OAB=∠OCB.
10.(内蒙古通辽期末)已知:如图,C,D是以AB为直径的☉O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.
【证明】连接OC,如图,
∵OD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.
又∵OB=OC,
∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,
∴AD=DC.
能力提升
1.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,=2,则∠ABC= 30 度.
2.(呼和浩特期末)如图,在☉O中,若==,则AC与2CD的大小关系是:AC < 2CD.(填“>”“<”或“=”)
3. (宁夏固原质检)已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接AE,EF.
(1)证明:∠EAO=∠BAO;
(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.
【解析】(1)连接OE,OF,如图所示,
由题意得:OB=OE=OA,AE=AB,
∴∠EAO=∠AEO,∠BAO=∠ABO,=,
∴∠AOE=∠AOB,
∴∠EAO=∠BAO.
(2)连接BF,∵OE=OF,OE=EF,
∴OE=OF=EF,
∴∠EOF=60°.
∵AE=BF=AB,
∴==,
∴∠AOE=∠BOF=∠AOB,
∴∠POQ=∠EOF=20°.
PAGE2 圆的对称性
教材认知
1.圆是 图形,任何一条 所在直线都是它的对称轴.
2.圆是中心对称图形,对称中心是 .
3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 相等,所对的 也相等.
4.在同圆或等圆中,如果两个 、两条 、两条 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
微点拨
1.不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦不一定相等.
2.在同圆或等圆中,相等的两个圆心角,相等的两条弧,相等的两条弦,其中一组量相等,可以推出其他两组量相等.
基础必会
1.(甘肃张掖期末)下列图形中的角是圆心角的是 ( )
2.(宁夏固原模拟)下列四个命题:①同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等;
②同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等;③同圆或等圆中,相等的弦的弦心距相等;
④同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
真命题的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(新疆和田模拟)如图,在☉O中,若点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC等于 ( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是 ( )
A.32° B.60° C.68° D.64°
5.(甘肃平凉期末)在半径为1的☉O中,若弦AB的长为1,则弦AB所对的圆心角的度数为 ( )
A.90° B.60° C.30° D.15°
6.(兰州期末)如图,AB为☉O的直径,点C,D是的三等分点,∠AOE=60°,则∠BOD的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
7.(内蒙古包头模拟)如图,AB为☉O的直径,△PAB的边PA,PB与☉O的交点分别为C,D.若==,则∠P的大小为 .
8.(兰州模拟)如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连接AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°,则∠OCB= .
9.(新疆喀什模拟)在☉O中,AB=BC,求证:∠OAB=∠OCB.
10.(内蒙古通辽期末)已知:如图,C,D是以AB为直径的☉O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.
能力提升
1.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,=2,则∠ABC= 度.
2.(呼和浩特期末)如图,在☉O中,若==,则AC与2CD的大小关系是:AC 2CD.(填“>”“<”或“=”)
3. (宁夏固原质检)已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接AE,EF.
(1)证明:∠EAO=∠BAO;
(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.
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