9 弧长及扇形的面积
教材认知
在半径为r,圆心角为n°的扇形中:
1.扇形弧长的公式为l= ;
2.扇形的面积公式为S扇形= ;S扇形= lr .
微点拨
1.在半径为R,圆心角n°和弧长l中,已知两个量,可以求第三个量;
2.在半径为R,圆心角n°和S扇形中,已知两个量,可以求第三个量;
3.在半径为R,弧长l和S扇形中,已知两个量,可以求第三个量.
基础必会
1.若扇形的弧长是5π,半径是18,则该扇形的圆心角是 (A)
A.50° B.60° C.100° D.120°
2.(新疆哈密模拟)如图,圆的半径是6,空白部分的圆心角分别是60°与30°,则阴影部分的面积是 (B)
A.9π B.27π C.6π D.3π
3.(青海中考)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 (B)
A.πm2 B.πm2 C.πm2 D.πm2
4.(包头中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,交AC于点C,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为 (D)
A.8-π B.4-π C.2- D.1-
5.(呼和浩特中考)已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为 12π .(用含π的代数式表示),圆心角为 216 度.
6.(青海中考)如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2,∠AOB为120°,则图中阴影部分的面积之和为
4 cm2.
7.(白银中考)如图,从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为 2π dm2.
8. (乌鲁木齐模拟)如图,秋千拉绳长AB为3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡该秋千时,秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称),请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)
【解析】由题意得,BE=2 m,AC=3 m,CD=0.5 m,
作BG⊥AC于G,则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5,由于AB=3,
所以在Rt△ABG中,∠BAG=60°,
根据对称性,知∠BAF=120°,
故秋千所荡过的圆弧长是=2π≈6.3(米).
9. (青海海东模拟)如图,点A,B,C在半径为8的☉O上,过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.
(1)求证:BD是☉O的切线.
(2)求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OB,交CA于E,
∵∠C=30°,∠C=∠BOA,∴∠BOA=60°,
∵∠BCA=∠OAC=30°,
∴∠AEO=90°,即OB⊥AC,
∵BD∥AC,∴∠DBE=∠AEO=90°,∴BD是☉O的切线.
(2)∵AC∥BD,∴∠D=∠CAO=30°,
∵∠OBD=90°,OB=8,∴BD=OB=8,
∴S阴影=S△BDO-S扇形AOB=×8×8-=32-.
能力提升
1.(新疆吐鲁番模拟)如图在正方形ABCD中,点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点,若圆的半径等于1,则图中阴影部分的面积为 1 .
2.(通辽中考)如图,AB是☉O的弦,AB=2,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=60°,若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值是 - .
3. (素养提升)(兰州质检)如图,△ABC内接于☉O,∠B=60°,点E在直径CD的延长线上,且AE=AC.
(1)试判断AE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,求阴影部分的面积.
【解析】(1)AE与☉O相切.理由:连接OA,AD,如图,
∵CD为☉O的直径,∴∠DAC=90°,
又∵∠ADC=∠B=60°,∴∠ACD=30°,
又∵AE=AC,OA=OD,
∴△ADO为等边三角形,
∴∠E=30°,∠ADO=∠DAO=60°,
∴∠EAD=30°,
∴∠EAD+∠DAO=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE为☉O的切线,即AE与☉O相切.
(2)作OF⊥AC于F,
由(1)可知△AEO为直角三角形,且∠E=30°,
∴OA=2,AE=6,
∴阴影部分的面积为×6×2-=6-2π.
故阴影部分的面积为6-2π.
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教材认知
在半径为r,圆心角为n°的扇形中:
1.扇形弧长的公式为l= ;
2.扇形的面积公式为S扇形= ;S扇形= .
微点拨
1.在半径为R,圆心角n°和弧长l中,已知两个量,可以求第三个量;
2.在半径为R,圆心角n°和S扇形中,已知两个量,可以求第三个量;
3.在半径为R,弧长l和S扇形中,已知两个量,可以求第三个量.
基础必会
1.若扇形的弧长是5π,半径是18,则该扇形的圆心角是 ( )
A.50° B.60° C.100° D.120°
2.(新疆哈密模拟)如图,圆的半径是6,空白部分的圆心角分别是60°与30°,则阴影部分的面积是 ( )
A.9π B.27π C.6π D.3π
3.(青海中考)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 ( )
A.πm2 B.πm2 C.πm2 D.πm2
4.(包头中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,交AC于点C,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.8-π B.4-π C.2- D.1-
5.(呼和浩特中考)已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为 .(用含π的代数式表示),圆心角为 度.
6.(青海中考)如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2,∠AOB为120°,则图中阴影部分的面积之和为
cm2.
7.(白银中考)如图,从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为 dm2.
8. (乌鲁木齐模拟)如图,秋千拉绳长AB为3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡该秋千时,秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称),请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)
9. (青海海东模拟)如图,点A,B,C在半径为8的☉O上,过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.
(1)求证:BD是☉O的切线.
(2)求图中阴影部分的面积.
能力提升
1.(新疆吐鲁番模拟)如图在正方形ABCD中,点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点,若圆的半径等于1,则图中阴影部分的面积为 .
2.(通辽中考)如图,AB是☉O的弦,AB=2,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=60°,若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值是 .
3. (素养提升)(兰州质检)如图,△ABC内接于☉O,∠B=60°,点E在直径CD的延长线上,且AE=AC.
(1)试判断AE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,求阴影部分的面积.
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