8 圆内接正多边形
教材认知
1.圆内接正多边形及有关概念:
顶点都在同一 的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
如图,五边形是圆O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的 ;OA是这个正五边形的 ;∠AOB是这个正五边形的 ;OH⊥AB,垂足为H,OH是这个正五边形的 .
2.正多边形的画法:
(1)用量角器等分圆;(2)尺规作图等分圆.
微点拨
1.正多边形的中心角=;
2.利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等,作相等的圆心角就可以等分圆,从而作出相应的正多边形;
3.圆内接正多边形的有关计算转化成解直角三角形和特殊三角形进行解决.
基础必会
1.(重庆中考A卷)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 ( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
2.(内蒙古乌海期末)如图,正八边形ABCDEFGH中,∠EAG大小为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
3.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为 ( )
A.4 B.2
C. D.
4.(新疆阿克苏模拟)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB.连接OA,OB,BC,若BC是☉O的内接正十二边形的一边,则∠ABC= .
5.如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
6.(赤峰中考)如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=
20 mm,则边长a= mm.
7.(西宁期末)正四边形的边长为4,则它的边心距是 .
8. (宁夏固原模拟)如图,正五边形ABCDE内接于圆O,P为弧DE上的一点(点P不与点D,E重合),则∠CPD的度数为 .
9.(新疆和田模拟)如图,在正五边形ABCDE中,CA与DB相交于点F,若AB=1,求BF.
10.(甘肃定西期末)如图,正方形ABCD内接于☉O,=,求证:BM=CM.
能力提升
1. (内蒙古巴彦淖尔期末)如图,四边形ABCD为☉O的内接正四边形,△AEF为☉O的内接正三角形,若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边,则n的值为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.15
2.(甘肃陇南模拟)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 .
3. (呼和浩特中考)如图,正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形,则可求出此正八边形的外接圆直径d,根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想,如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长,便可估计π的值,下面d及π的值都正确的是 ( )
A.d=,π≈8sin 22.5° B.d=,π≈4sin 22.5°
C.d=,π≈8sin 22.5° D.d=,π≈4sin 22.5°
4. (通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的边长为6 cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.
PAGE8 圆内接正多边形
教材认知
1.圆内接正多边形及有关概念:
顶点都在同一 圆上 的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
如图,五边形是圆O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的 中心 ;OA是这个正五边形的 半径 ;∠AOB是这个正五边形的 中心角 ;OH⊥AB,垂足为H,OH是这个正五边形的 边心距 .
2.正多边形的画法:
(1)用量角器等分圆;(2)尺规作图等分圆.
微点拨
1.正多边形的中心角=;
2.利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等,作相等的圆心角就可以等分圆,从而作出相应的正多边形;
3.圆内接正多边形的有关计算转化成解直角三角形和特殊三角形进行解决.
基础必会
1.(重庆中考A卷)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 (B)
A.80° B.100° C.110° D.120°
2.(内蒙古乌海期末)如图,正八边形ABCDEFGH中,∠EAG大小为 (C)
A.30° B.40° C.45° D.50°
3.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为 (A)
A.4 B.2
C. D.
4.(新疆阿克苏模拟)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB.连接OA,OB,BC,若BC是☉O的内接正十二边形的一边,则∠ABC= 15° .
5.如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 10 .
6.(赤峰中考)如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=
20 mm,则边长a= mm.
7.(西宁期末)正四边形的边长为4,则它的边心距是 2 .
8. (宁夏固原模拟)如图,正五边形ABCDE内接于圆O,P为弧DE上的一点(点P不与点D,E重合),则∠CPD的度数为 36° .
9.(新疆和田模拟)如图,在正五边形ABCDE中,CA与DB相交于点F,若AB=1,求BF.
【解析】在正五边形ABCDE中,∵∠ABC=∠DCB=108°,BC=BA=CD,
∴∠BAC=∠BCA=∠CDB=∠CBD=36°,∴∠ABF=72°,
∴∠AFB=∠CBD+∠ACB=72°,∴∠AFB=∠ABF,∠FCB=∠FBC,
∴AF=AB=1,FB=CF,设FB=FC=x,∵∠BCF=∠BCA,∠CBF=∠CAB,∴△BCF∽△ACB,
∴CB2=CF·CA,∴x(x+1)=1,∴x2+x-1=0,∴x=或(舍去),∴BF=.
10.(甘肃定西期末)如图,正方形ABCD内接于☉O,=,求证:BM=CM.
【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴=,
∵=,∴+=+,即=,∴BM=CM.
能力提升
1. (内蒙古巴彦淖尔期末)如图,四边形ABCD为☉O的内接正四边形,△AEF为☉O的内接正三角形,若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边,则n的值为 (C)
A.8 B.10 C.12 D.15
2.(甘肃陇南模拟)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 .
3. (呼和浩特中考)如图,正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形,则可求出此正八边形的外接圆直径d,根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想,如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长,便可估计π的值,下面d及π的值都正确的是 (C)
A.d=,π≈8sin 22.5° B.d=,π≈4sin 22.5°
C.d=,π≈8sin 22.5° D.d=,π≈4sin 22.5°
4. (通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的边长为6 cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.
【解析】(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,
∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,
∴AP=DQ=t,PF=QC=6-t,
在△ABP和△DEQ中,
∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ,
同理可证PE=QB,
∴四边形PEQB为平行四边形.
(2)连接BE,OA,则∠AOB==60°,
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=6,BE=2OB=12.
当t=0时,点P与A重合,Q与D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如图1所示:
则∠EAF=∠AEF=30°,
∴∠BAE=120°-30°=90°,
∴此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.
当t=6时,点P与F重合,Q与C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示:
同理可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,t=0 s或6 s时,四边形PBQE是矩形,
∴AE==6,
∴矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×6=36;
∵正六边形ABCDEF的面积=6△AOB的面积=6×矩形ABDE的面积=6××36=54,
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=.
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