4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
教材认知
1.圆内接四边形:
四边形的四个顶点都在圆上,这样的四边形叫做 ,这个圆叫做四边形的 .
2.圆周角定理的推论:
直径所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 .
圆内接四边形的对角 .
微点拨
条件中有“直径”,可得到90°的圆周角,反之也成立;有时需要添加辅助线进行解答.
基础必会
1.(青海玉树模拟)用直角三角板检查半圆形的工件,合格的是 ( )
2.(乌鲁木齐模拟)如图,已知C,D在以AB为直径的☉O上,若∠CAB=30°,则∠D的度数是 ( )
A.30° B.70° C.75° D.60°
3.(青海海东期末)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( )
A.60° B.50° C.40° D.20°
4.(甘肃平凉模拟)如图,BC是☉O的直径,点A,D在☉O上,若∠ADC=32°,则∠ACB的大小为 ( )
A.58° B.68° C.88° D.148°
5.(嘉峪关中考)如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分,则DC的长为 ( )
A.2 B. C.2 D.
6.(赤峰中考)如图,点C,D在以AB为直径的半圆上,且∠ADC=120°,点E是上任意一点,连接BE,CE.则∠BEC的度数为 ( )
A.20° B.30° C.40° D.60°
7.(银川一模)在☉O中,弦AB的长等于半径,那么弦AB所对的圆周角的度数是
.
8.(甘肃平凉期末)已知:如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=
2 cm.求DB长.
9. (银川一模)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC.
(1)求证:AB=AC;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E.若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
能力提升
1.(新疆阿克苏模拟)如图,AD和AC分别是☉O的直径和弦,且∠CAD=30°,OB⊥AD,交AC于点B,若OB=5,则BC的长是 ( )
A.5 B.5 C.5-10 D.10-5
2.(甘肃定西期末)如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,AC交BD于点G.若∠COD=120°,则∠AGB= .
3. (包头中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,以AD为直径的☉O交AB于点E,交AC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为H,交于点G,交AD于点M,连接AG,DE,DF.
(1)求证:∠GAD+∠EDF=180°.
(2)若∠ACB=45°,AD=4,tan∠ABC=2,求HF的长.
PAGE4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
教材认知
1.圆周角:角的顶点在 上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的 度数的一半.
3.圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角 .
微点拨
根据圆周角定义,识别它与圆心角的区别;利用圆周角定理及推论,确定它们的数量关系,进行计算.
基础必会
1.(西宁模拟)下列四个图中,∠x是圆周角的是 ( )
2.(乌鲁木齐模拟)如图,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是 ( )
A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3<∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2
3.(宁夏吴忠质检)如图,☉O中,=,∠ABC=70°.则∠BOC的度数为 ( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
4.(宁夏固原质检)如图,☉O中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC的度数为 ( )
A.14° B.28° C.42° D.56°
5.如图,☉O是△ABC的外接圆,已知∠ACB=60°,则∠ABO的大小为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
6.(白银中考)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED= ( )
A.48° B.24° C.22° D.21°
7.(宜昌中考)如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点,设∠ABC=25°,则∠BDC= ( )
A.85° B.75° C.70° D.65°
8.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆周角的度数是
( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
9. (呼和浩特模拟)已知AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA= .
10.(新疆伊犁模拟)如图,AB,CD为☉O内两条相交的弦,交点为E,且AB=CD,求证:AD∥BC.
能力提升
1.(内蒙古赤峰期末)如图,A,B,C,D四点均在☉O上,∠AOD=40°,弦DC的长等于半径,则∠B的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
2.(甘肃定西模拟)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,∠BOC=50°,AD∥OC,AD交☉O于点D,连接AC,CD,那么∠ACD= .
3.如图,A、B、C是☉O上的三点,以BC为一边,作∠CBD=∠ABC,过BC上一点P,作PE∥AB交BD于点E.若∠AOC=60°,BE=12,则点P到弦AB的距离为 .
4.(新疆哈密模拟)如图,点A,B,C,D,E都在☉O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,
求证:=.
5. (兰州模拟)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C,D重合),探究:∠CPD与∠COB的关系,并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP′D与∠COB有什么数量关系 请说明你的理由.
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第2课时
教材认知
1.圆内接四边形:
四边形的四个顶点都在圆上,这样的四边形叫做 圆内接四边形 ,这个圆叫做四边形的 外接圆 .
2.圆周角定理的推论:
直径所对的圆周角是 直角 ,90°的圆周角所对的弦是 直径 .
圆内接四边形的对角 互补 .
微点拨
条件中有“直径”,可得到90°的圆周角,反之也成立;有时需要添加辅助线进行解答.
基础必会
1.(青海玉树模拟)用直角三角板检查半圆形的工件,合格的是 (B)
2.(乌鲁木齐模拟)如图,已知C,D在以AB为直径的☉O上,若∠CAB=30°,则∠D的度数是 (D)
A.30° B.70° C.75° D.60°
3.(青海海东期末)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 (B)
A.60° B.50° C.40° D.20°
4.(甘肃平凉模拟)如图,BC是☉O的直径,点A,D在☉O上,若∠ADC=32°,则∠ACB的大小为 (A)
A.58° B.68° C.88° D.148°
5.(嘉峪关中考)如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分,则DC的长为 (D)
A.2 B. C.2 D.
6.(赤峰中考)如图,点C,D在以AB为直径的半圆上,且∠ADC=120°,点E是上任意一点,连接BE,CE.则∠BEC的度数为 (B)
A.20° B.30° C.40° D.60°
7.(银川一模)在☉O中,弦AB的长等于半径,那么弦AB所对的圆周角的度数是
30°或150° .
8.(甘肃平凉期末)已知:如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=
2 cm.求DB长.
【解析】∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE,∠AEC=∠DEB=90°,
∵∠B=∠ACD=30°,
在Rt△ACE中,AC=2AE=4 cm,∴CE==2(cm),∴DE=2 cm,
在Rt△BDE中,∠B=30°,∴BD=2DE=4 cm.∴DB的长为4 cm.
9. (银川一模)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC.
(1)求证:AB=AC;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E.若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
【解析】(1)连接AD,如图,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,又BD=CD,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
(2)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵☉O的半径为5,
∴AB=BC=10,CD=BC=5.
又∵∠C=60°,
∴DE=CD·sin 60°=.
能力提升
1.(新疆阿克苏模拟)如图,AD和AC分别是☉O的直径和弦,且∠CAD=30°,OB⊥AD,交AC于点B,若OB=5,则BC的长是 (A)
A.5 B.5 C.5-10 D.10-5
2.(甘肃定西期末)如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,AC交BD于点G.若∠COD=120°,则∠AGB= 105° .
3. (包头中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,以AD为直径的☉O交AB于点E,交AC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为H,交于点G,交AD于点M,连接AG,DE,DF.
(1)求证:∠GAD+∠EDF=180°.
(2)若∠ACB=45°,AD=4,tan∠ABC=2,求HF的长.
【解析】(1)由题可知∠AGF=∠ADF(同弧所对的圆周角相等),
∵GF⊥AB,AD为圆的直径,
∴∠AGF+∠GAE=90°,∠ADF+∠FAD=90°,
∴∠GAE=∠FAD,
∴∠GAE+∠DAE=∠FAD+∠DAE,即∠GAD=∠EAF,
∵四边形AEDF是圆的内接四边形,
∴∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠GAD+∠EDF=180°.
(2)如图,
连接OF,
∵AD是圆的直径,且AD是△ABC的高,GF⊥AB,
∴∠AED=∠ADB=∠AHM=∠AFD=90°,
∴△AHM∽△ADB,
∴=,
∵tan∠ABC==2,∴=2,
∵∠ACB=45°,
∴∠DAC=∠ADF=∠AFO=45°,
∴∠AOF=90°,
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中:∠AMH=∠FMO(对顶角),
∴△AHM∽△FOM,
∴==2,
∵AD=4,∴OF=OA=2,
∴=2,解得OM=1,AM=OA-OM=1,
设HM=x,则AH=2x,
在△AHM中有:AH2+HM2=AM2,
即(2x)2+x2=1,解得x1=,x2=-(舍去),
∴AH=,
∵OF=OA=2,∴AF=2.
在Rt△AHF中,有:AH2+HF2=AF2,
即+HF2=(2)2,
解得HF=,或HF=-(舍去).
故HF的长为.
PAGE4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
教材认知
1.圆周角:角的顶点在 圆 上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角 度数的一半.
3.圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角 相等 .
微点拨
根据圆周角定义,识别它与圆心角的区别;利用圆周角定理及推论,确定它们的数量关系,进行计算.
基础必会
1.(西宁模拟)下列四个图中,∠x是圆周角的是 (C)
2.(乌鲁木齐模拟)如图,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是 (B)
A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3<∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2
3.(宁夏吴忠质检)如图,☉O中,=,∠ABC=70°.则∠BOC的度数为 (C)
A.100° B.90° C.80° D.70°
4.(宁夏固原质检)如图,☉O中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC的度数为 (D)
A.14° B.28° C.42° D.56°
5.如图,☉O是△ABC的外接圆,已知∠ACB=60°,则∠ABO的大小为 (A)
A.30° B.40° C.45° D.50°
6.(白银中考)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED= (D)
A.48° B.24° C.22° D.21°
7.(宜昌中考)如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点,设∠ABC=25°,则∠BDC= (D)
A.85° B.75° C.70° D.65°
8.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆周角的度数是
(D)
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
9. (呼和浩特模拟)已知AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA= 30° .
10.(新疆伊犁模拟)如图,AB,CD为☉O内两条相交的弦,交点为E,且AB=CD,求证:AD∥BC.
【证明】∵AB=CD,∴=,
∴-=-,即=,
∴∠B=∠A,∴AD∥BC.
能力提升
1.(内蒙古赤峰期末)如图,A,B,C,D四点均在☉O上,∠AOD=40°,弦DC的长等于半径,则∠B的度数为 (C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
2.(甘肃定西模拟)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,∠BOC=50°,AD∥OC,AD交☉O于点D,连接AC,CD,那么∠ACD= 40° .
3.如图,A、B、C是☉O上的三点,以BC为一边,作∠CBD=∠ABC,过BC上一点P,作PE∥AB交BD于点E.若∠AOC=60°,BE=12,则点P到弦AB的距离为 6 .
4.(新疆哈密模拟)如图,点A,B,C,D,E都在☉O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,
求证:=.
【证明】∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,
∴∠DAC=∠ACE,∴=.
5. (兰州模拟)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C,D重合),探究:∠CPD与∠COB的关系,并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP′D与∠COB有什么数量关系 请说明你的理由.
【解析】(1)∠CPD=∠COB.理由如下:连接OD,∵AB是直径,AB⊥CD,∴=,
∴∠COB=∠DOB=∠COD.又∵∠CPD=∠COD,∴∠CPD=∠COB.
(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:
∵AB是直径,且AB⊥CD,∴=.
又∵圆周角∠CP′D对的弧是,圆心角∠COA对的弧是,∴∠CP′D=∠COA.
又∵∠COA+∠COB=180°,∴∠CP′D+∠COB=180°.
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