6 直线和圆的位置关系
第2课时
教材认知
1.切线的判定:
过半径的外端且 于这条半径的直线是圆的切线.
2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条 的交点,叫做三角形的 .
微点拨
1.圆的切线必须具备下面两个条件:①半径的外端;②垂直于这条半径;
2.除切线判定定理外,切线的判定方法还有以下两种:
(1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2)数量关系:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等;
(2)三角形的内心与其各顶点的连线平分三角形各个内角.
基础必会
1.(青海果洛模拟)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判别CE是切线的是 ( )
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
2.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是 ( )
A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55° D.∠ATC=∠B
3.(甘肃庆阳模拟)如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线绕点B按顺时针方向旋转 ( )
A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110°
4.(内蒙古赤峰期末)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为 ( )
A.120° B.110° C.115° D.130°
5.(内蒙古锡林郭勒模拟)如图,☉O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是 ( )
A.65° B.60° C.58° D.50°
6.(新疆伊犁期末)如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO长为半径作☉O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与☉O相切.
7. (青海中考)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.
(1)求证:△BGD∽△DMA.
(2)求证:直线MN是☉O的切线.
能力提升
1.(新疆克拉玛依模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,BC为半圆O的直径,将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时,平移的距离的长是 .
2.(白银中考)如图,△ABC内接于☉O,D是☉O的直径AB的延长线上一点,∠DCB=∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若CD=4,CE=6,求☉O的半径及tan∠OCB的值.
PAGE6 直线和圆的位置关系
第1课时
教材认知
1.概念:直线和圆有三种位置关系: 相离 、 相切 和 相交 .
相切:如果直线l与圆有 唯一 的公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相切,这条直线叫做圆的 切线 ,这个唯一的公共点叫做切点.
2.直线和圆的位置关系的判断(圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为r):
直线l和☉O相交 dr .
3.切线的性质:圆的切线 垂直 于过切点的半径.
微点拨
1.判断直线与圆的位置关系有两种方法:
①从交点个数识别直线与圆的位置关系;
②从圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来识别直线与圆的位置关系.
2.根据切线的性质,圆外一点和圆心的连线,过该点的圆的切线和过切点的半径,它们就构成了一个直角三角形,这样与切线有关的问题都可以化归到直角三角形中来解决.
基础必会
1.(嘉兴中考)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=
2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为 (D)
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
2.(青海玉树模拟)如图,P为☉O外一点,PC切☉O于C,PB与☉O交于A,B两点.若PA=1,PB=5,则PC= (B)
A.3 B. C.4 D.无法确定
3.如图,AB为☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 (B)
A.25° B.20° C.30° D.35°
4.(甘肃金昌期末)已知☉O的半径是4,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是 相离 .
5.(宁夏吴忠期中)如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,连接AC,OC.若sin∠BAC=,则tan∠BOC= .
6.(福建中考)如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于 (D)
A. B. C. D.
7.(包头中考)如图,在 ABCD中,AD=12,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则 ABCD的周长为 24+6 .
8. (嘉峪关中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,且AE=AB.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若DE=2,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OA,∵AE是☉O的切线,∴∠OAE=90°,
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB,
∴∠OAB=∠ABE=∠E,∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE=180°,
∴∠OAB=∠ABE=∠E=30°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=120°,
∴∠ACB=∠AOB=60°.
(2)设☉O的半径为r,则OA=OD=r,OE=r+2,
∵∠OAE=90°,∠E=30°,∴2OA=OE,即2r=r+2,∴r=2,故☉O的半径为2.
能力提升
1.(甘肃平凉期末)如图,☉P与y轴相切于点C(0,3),与x轴相交于点A(1,0),B(9,0),直线y=kx-1恰好平分☉P的面积,那么k的值是 .
2. (宁夏吴忠模拟)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:△CBA≌△DAB;
(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
【解析】(1)∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△CBA与Rt△DAB中,∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).
(2)∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,∴∠E=∠BFE,
∵BE是半圆O所在圆的切线,∴∠ABE=90°,
∴∠E+∠BAE=90°,由(1)知∠D=90°,
∴∠DAF+∠AFD=90°,∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,
∵∠DAF=90°-∠AFD,∠BAF=90°-∠E,
∴∠DAF=∠BAF,∴AC平分∠DAB.
3. (新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.
(1)求证:∠BCE=∠BCD.
(2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OC,
∵CD与☉O相切于点C,∴OC⊥CD,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵CE⊥AB,
∴∠OBC+∠BCE=90°,
∵∠OCB+∠BCD=∠OCD=90°,
∴∠BCE=∠BCD.
(2)连接AC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OCB+∠ACO=90°,
∵∠BCD+∠OCB=90°,
∴∠BCD=∠ACO,
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,
∴∠BCD=∠DAC,
∵∠CDB=∠ADC,
∴△CBD∽△ACD,∴=,
∵CE=2BE,
∴在Rt△BCE中,tan∠ABC==2,
∴在Rt△ABC中,tan∠ABC==2,
∴2=,∴CD=5,
设☉O的半径为r,
∴BD=AD-2r=10-2r,
∵CD2=BD·AD,
∴BD=,即10-2r=,
解得r=.
∴☉O的半径为.
PAGE6 直线和圆的位置关系
第1课时
教材认知
1.概念:直线和圆有三种位置关系: 、 和 .
相切:如果直线l与圆有 的公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相切,这条直线叫做圆的 ,这个唯一的公共点叫做切点.
2.直线和圆的位置关系的判断(圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为r):
直线l和☉O相交 ; d=r;直线l和☉O相离 .
3.切线的性质:圆的切线 于过切点的半径.
微点拨
1.判断直线与圆的位置关系有两种方法:
①从交点个数识别直线与圆的位置关系;
②从圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来识别直线与圆的位置关系.
2.根据切线的性质,圆外一点和圆心的连线,过该点的圆的切线和过切点的半径,它们就构成了一个直角三角形,这样与切线有关的问题都可以化归到直角三角形中来解决.
基础必会
1.(嘉兴中考)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=
2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为 ( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
2.(青海玉树模拟)如图,P为☉O外一点,PC切☉O于C,PB与☉O交于A,B两点.若PA=1,PB=5,则PC= ( )
A.3 B. C.4 D.无法确定
3.如图,AB为☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 ( )
A.25° B.20° C.30° D.35°
4.(甘肃金昌期末)已知☉O的半径是4,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是 .
5.(宁夏吴忠期中)如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,连接AC,OC.若sin∠BAC=,则tan∠BOC= .
6.(福建中考)如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于 ( )
A. B. C. D.
7.(包头中考)如图,在 ABCD中,AD=12,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则 ABCD的周长为 .
8. (嘉峪关中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,且AE=AB.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若DE=2,求☉O的半径.
能力提升
1.(甘肃平凉期末)如图,☉P与y轴相切于点C(0,3),与x轴相交于点A(1,0),B(9,0),直线y=kx-1恰好平分☉P的面积,那么k的值是 .
2. (宁夏吴忠模拟)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:△CBA≌△DAB;
(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
3. (新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.
(1)求证:∠BCE=∠BCD.
(2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径.
PAGE6 直线和圆的位置关系
第2课时
教材认知
1.切线的判定:
过半径的外端且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条 角平分线 的交点,叫做三角形的 内心 .
微点拨
1.圆的切线必须具备下面两个条件:①半径的外端;②垂直于这条半径;
2.除切线判定定理外,切线的判定方法还有以下两种:
(1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2)数量关系:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等;
(2)三角形的内心与其各顶点的连线平分三角形各个内角.
基础必会
1.(青海果洛模拟)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判别CE是切线的是 (C)
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
2.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是 (D)
A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55° D.∠ATC=∠B
3.(甘肃庆阳模拟)如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线绕点B按顺时针方向旋转 (B)
A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110°
4.(内蒙古赤峰期末)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为 (B)
A.120° B.110° C.115° D.130°
5.(内蒙古锡林郭勒模拟)如图,☉O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是 (B)
A.65° B.60° C.58° D.50°
6.(新疆伊犁期末)如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO长为半径作☉O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 60或120 度时与☉O相切.
7. (青海中考)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.
(1)求证:△BGD∽△DMA.
(2)求证:直线MN是☉O的切线.
【解析】(1)∵MN⊥AC,BG⊥MN,
∴∠BGD=∠DMA=90°,
∵以AB为直径的☉O交BC于点D,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴∠ADM+∠CDM=90°,
∵∠DBG+∠BDG=90°,∠CDM=∠BDG,
∴∠DBG=∠ADM,∴△BGD∽△DMA;
(2)连接OD.
∵BO=OA,BD=DC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.
又∵MN⊥AC,∴OD⊥MN,∴直线MN是☉O的切线.
能力提升
1.(新疆克拉玛依模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,BC为半圆O的直径,将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时,平移的距离的长是 .
2.(白银中考)如图,△ABC内接于☉O,D是☉O的直径AB的延长线上一点,∠DCB=∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若CD=4,CE=6,求☉O的半径及tan∠OCB的值.
【解析】(1)∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠DCB=∠OAC,
∴∠OCA=∠DCB,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
∴∠DCB+∠OCB=90°,
即∠OCD=90°,
∴OC⊥DC,
∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵OE∥BC,
∴=,
∵CD=4,CE=6,
∴==,
设BD=2x,则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,
∵OC⊥DC,
∴△OCD是直角三角形,
在Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2,
∴(3x)2+42=(5x)2,
解得x=1,
∴OC=3x=3,即☉O的半径为3.
∵BC∥OE,∴∠OCB=∠EOC,
在Rt△OCE中,tan∠EOC===2,
∴tan∠OCB=tan∠EOC=2.
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