1 锐角三角函数
第2课时
教材认知
正弦、余弦
1.
定义 符号 几何语言 梯子的倾斜度
正弦 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 对边 与 斜边 的比便随之确定,这个 比 叫做∠A的正弦 sin 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= . sin A的值越 大 ,梯子越陡; cos A的值越 小 ,梯子越陡
余弦 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 邻边 与 斜边 的比便随之确定,这个 比 叫做∠A的余弦 cos 在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A= .
2.锐角的三角函数
锐角的 正切 、 正弦 和 余弦 都是锐角的三角函数.
微点拨
1.sin A,cos A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形);
2.sin A,cos A是一个比值,均大于0,无单位;
3.sin A,cos A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关;
4.两个锐角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
基础必会
1. (甘肃天水一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=3,那么下列各式中正确的是
(B)
A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B=
2.(宜昌中考)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为 (B)
A. B. C. D.
3.(青海玉树模拟)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,c=3a,则sin A的值是 (A)
A. B. C.3 D.以上都不对
4.(湖州中考)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sin B的值是 .
5.(新疆和田模拟)在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 或 .
6.(西宁模拟)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cos B的值为 .
7.(甘肃平凉一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.
【解析】在Rt△ACB中,由勾股定理得:AC===8,
所以sin A===,cos A===,tan A===.
8.(宁夏固原模拟)已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.
【解析】∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即:a2+b2=c2,
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形,
∵5b-4c=0,∴ =.
设b=4k,则c=5k,∴在△ABC中,a=3k,
∴sin A+sin B=+=+=+=.
能力提升
1.(内蒙古赤峰模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=h,∠A=α,则AB的长为 (D)
A.h·cos α B. C.h·sin α D.
2.(甘肃酒泉期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,cos B=,则AB= 6 .
3.(新疆吐鲁番模拟)如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α,即ctan α==,根据上述角的余切定义,解下列问题:
(1)ctan 30°= ;
(2)已知tan A=,其中∠A为锐角,试求ctan A的值.
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,α=30°,
∴BC=AB,
∴AC= = AB,
∴ctan30°== .
答案:
(2)∵tan A=,
∴设BC=3x,AC=4x,
∴ctan A==.
2 30°,45°,60°角的三角函数值
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第2课时
教材认知
正弦、余弦
1.
定义 符号 几何语言 梯子的倾斜度
正弦 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 与 的比便随之确定,这个 叫做∠A的正弦 sin 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= . sin A的值越 ,梯子越陡; cos A的值越 ,梯子越陡
余弦 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 与 的比便随之确定,这个 叫做∠A的余弦 cos 在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A= .
2.锐角的三角函数
锐角的 、 和 都是锐角的三角函数.
微点拨
1.sin A,cos A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形);
2.sin A,cos A是一个比值,均大于0,无单位;
3.sin A,cos A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关;
4.两个锐角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
基础必会
1. (甘肃天水一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=3,那么下列各式中正确的是
( )
A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B=
2.(宜昌中考)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为 ( )
A. B. C. D.
3.(青海玉树模拟)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,c=3a,则sin A的值是 ( )
A. B. C.3 D.以上都不对
4.(湖州中考)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sin B的值是 .
5.(新疆和田模拟)在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 .
6.(西宁模拟)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cos B的值为 .
7.(甘肃平凉一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.
8.(宁夏固原模拟)已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.
能力提升
1.(内蒙古赤峰模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=h,∠A=α,则AB的长为 ( )
A.h·cos α B. C.h·sin α D.
2.(甘肃酒泉期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,cos B=,则AB= .
3.(新疆吐鲁番模拟)如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α,即ctan α==,根据上述角的余切定义,解下列问题:
(1)ctan 30°= ;
(2)已知tan A=,其中∠A为锐角,试求ctan A的值.
PAGE第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
教材认知
一、正切
1.定义:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 对边 与 邻边 的比便随之确定,这个 比 叫做∠A的正切(tangent).
2.符号:tan
3.几何语言:在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A= .
二、坡度
1.定义:斜坡坡角的 正切 值就是山坡的坡度.
2.关系:tan A的值越 大 ,斜坡越陡.
微点拨
1.当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定;
2.tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.
基础必会
1.把一个直角三角形的各边都扩大3倍,那么它的各锐角的正切值 (C)
A.扩大3倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.以上都不对
2.(宁夏吴忠一模)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,则tan A的值为 (C)
A. B. C. D.
3.(西宁中考)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,BC=6,CD=5,则∠ACD的正切值是 (D)
A. B. C. D.
4.(新疆石河子质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则tan A= 2 .
5.(甘肃定西模拟)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为10 m,若在坡度为i=1∶2.5的山坡上种树,也要求株距为10 m,那么相邻两棵树间的坡面距离为 2 m.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,CD是AB上的高,则tan∠BCD的值是 .
7.如图,斜坡AB的坡度是1∶4,如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米,那么斜坡AB的长度是 6 米.
8.(内蒙古赤峰模拟)如图是某地铁站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为 米.
9. (新疆喀什模拟)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求边AC的长.
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.
【解析】(1)过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中,tan∠ABC==,AB=5,∴AE=3,BE=4,
∴CE=BC-BE=5-4=1,在Rt△AEC中,根据勾股定理,得AC==.
(2)∵DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=,∵tan∠DBF==,∴DF=,
在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD==,∴AD=5-=,则=.
能力提升
1.(甘肃天水一模)如图,在5×5的正方形网格中,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,则tan A的值为 .
2.(内蒙古通辽模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB,
tan∠DCB=,AC=12,则BC= 9 .
3.美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的真实写照.如图,赤城湖水库的大坝横截面是一个梯形,坝顶宽CD=4 m,坝高3 m,斜坡AD的坡度为1∶2.5,斜坡BC的坡度为1∶1.5,若大坝长200 m,求大坝所用的土方是多少.
【解析】如图所示,过点D,C分别向AB作垂线,垂足分别为点E,F,则EF=CD=4.
∵DE∶AE=1∶2.5,DE=3,∴AE=7.5.
∵CF∶BF=1∶1.5,
∴BF=4.5.
∴AB=7.5+4+4.5=16.
∴S=(16+4)×3=30(m2),
∵大坝长200 m,∴所需土方6 000 m3.
答:这个大坝所用的土方是6 000 m3.
PAGE第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
教材认知
一、正切
1.定义:在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的 与 的比便随之确定,这个 叫做∠A的正切(tangent).
2.符号:tan
3.几何语言:在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A= .
二、坡度
1.定义:斜坡坡角的 值就是山坡的坡度.
2.关系:tan A的值越 ,斜坡越陡.
微点拨
1.当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定;
2.tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.
基础必会
1.把一个直角三角形的各边都扩大3倍,那么它的各锐角的正切值 ( )
A.扩大3倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.以上都不对
2.(宁夏吴忠一模)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,则tan A的值为 ( )
A. B. C. D.
3.(西宁中考)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,BC=6,CD=5,则∠ACD的正切值是 ( )
A. B. C. D.
4.(新疆石河子质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则tan A= .
5.(甘肃定西模拟)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为10 m,若在坡度为i=1∶2.5的山坡上种树,也要求株距为10 m,那么相邻两棵树间的坡面距离为 m.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,CD是AB上的高,则tan∠BCD的值是 .
7.如图,斜坡AB的坡度是1∶4,如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米,那么斜坡AB的长度是 米.
8.(内蒙古赤峰模拟)如图是某地铁站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为 米.
9. (新疆喀什模拟)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求边AC的长.
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.
能力提升
1.(甘肃天水一模)如图,在5×5的正方形网格中,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,则tan A的值为 .
2.(内蒙古通辽模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB,
tan∠DCB=,AC=12,则BC= .
3.美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的真实写照.如图,赤城湖水库的大坝横截面是一个梯形,坝顶宽CD=4 m,坝高3 m,斜坡AD的坡度为1∶2.5,斜坡BC的坡度为1∶1.5,若大坝长200 m,求大坝所用的土方是多少.
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